线性子空间
线性子空间定义
设
V
1
V_1
V1 是线性空间
V
V
V 的一个非空子集合，且对
V
V
V 已有的线性运算满足以下条件：
∀
x
⃗
,
y
⃗
∈
V
1
时
,
有唯一的
x
⃗
+
y
⃗
∈
V
1
（加法封闭）
∀
x
⃗
∈
V
1
时
,
有唯一的
k
x
⃗
∈
V
1
（数乘封闭）
\forall \vec{x},\vec{y} \in V_1时, 有唯一的\ \vec{x}+\vec{y} \in V_1 （加法封闭）\\ \forall \vec{x} \in V_1时, 有唯一的\ k\vec{x} \in V_1 （数乘封闭）\\
∀x,y∈V1时,有唯一的 x+y∈V1（加法封闭）∀x∈V1时,有唯一的 kx∈V1（数乘封闭）
则称线性空间
V
1
V_1
V1 是线性空间
V
V
V 的一个「线性子空间或子空间」。我们应该感知到，线性子空间
V
1
V_1
V1 也是一个线性空间，只不过它内含的元素集合是线性空间
V
V
V 所含元素集合的子集；最小的线性子空间是只含
0
⃗
\vec{0}
0 的线性空间
{
0
⃗
}
\{\vec{0}\}
{0}，最大的线性子空间是
V
V
V 本身。因为子空间也是线性空间，所以关于线性空间的一切概念（基、维数等）也适用于线性子空间.
子空间的生成、基扩定理
设
v
1
⃗
,
v
2
⃗
.
.
.
,
v
m
⃗
\vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_m}
v1,v2...,vm 是
V
V
V 中的元素，则它们所有可能的线性组合所得到的元素的集合：
{
∑
i
=
1
m
k
i
v
i
}
\begin{Bmatrix} \sum_{i=1}^m k_iv_i \end{Bmatrix}
{∑i=1mkivi}
构成了
V
V
V 的一个线性子空间
V
1
V_1
V1，称之为由
v
1
⃗
,
v
2
⃗
.
.
.
,
v
m
⃗
\vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_m}
v1,v2...,vm 生（张）成的子空间，记为
S
p
a
n
(
v
1
⃗
,
v
2
⃗
.
.
.
,
v
m
⃗
)
Span(\vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_m})
Span(v1,v2...,vm)；显然，若
v
1
⃗
,
v
2
⃗
.
.
.
,
v
m
⃗
\vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_m}
v1,v2...,vm 线性无关，则
d
i
m
(
S
p
a
n
(
v
1
⃗
,
v
2
⃗
.
.
.
,
v
m
⃗
)
)
=
m
dim(Span(\vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_m}))=m
dim(Span(v1,v2...,vm))=m；又显然，
d
i
m
(
V
1
)
≤
d
i
m
(
V
)
dim(V_1) \leq dim(V)
dim(V1)≤dim(V).
基扩定理：线性空间 V V V 的一个线性子空间 V 1 V_1 V1 的基，必可扩充为原线性空间 V V V 的一个基；换言之，在线性空间 V V V 中必可找到 d i m ( V ) − d i m ( V 1 ) dim(V)-dim(V_1) dim(V)−dim(V1) 个线性无关的元素，这些元素不在线性子空间 V 1 V_1 V1 中，但它们和 V 1 V_1 V1 的基在一起所构成的向量组，可以成为原线性空间 V V V 的一个基.
子空间的交与和
设
V
1
、
V
2
V_1、V_2
V1、V2 是线性空间
V
V
V 的两个子空间，则：
V
1
∩
V
2
=
{
v
⃗
∣
v
⃗
∈
V
1
,
v
⃗
∈
V
2
}
V
1
+
V
2
=
{
v
1
⃗
+
v
2
⃗
∣
v
1
⃗
∈
V
1
,
v
2
⃗
∈
V
2
}
\begin{aligned} &V_{1}\cap V_{2}=\left\{\vec{v} | \vec{v} \in V_{1},\vec{v} \in V_{2}\right\}\\ &V_{1}+V_{2}=\left\{\vec{v_1}+\vec{v_2}|\vec{v_1} \in V_{1},\vec{v_2} \in V_{2}\right\} \end{aligned}
V1∩V2={v∣v∈V1,v∈V2}V1+V2={v1+v2∣v1∈V1,v2∈V2}
分别称为
V
1
V_1
V1 和
V
2
V_2
V2 的交与和。显然，若
V
1
、
V
2
V_1、V_2
V1、V2 是线性空间
V
V
V 的两个子空间，则
V
1
∩
V
2
V_{1}\cap V_{2}
V1∩V2、
V
1
+
V
2
V_{1}+V_{2}
V1+V2 均为
V
V
V 的子空间（隐含了，两个子空间的交与和仍是一个线性空间，这也是为什么不说成“交与并”，“并”的结果不一定是一个线性空间）
维数公式：若
V
1
、
V
2
V_1、V_2
V1、V2 是线性空间
V
V
V 的两个子空间，则有：
dim
(
V
1
+
V
2
)
+
dim
(
V
1
∩
V
2
)
=
dim
V
1
+
dim
V
2
\dim(V_1+V_2)+\dim(V_1\cap V_2)=\dim V_1+\dim V_2 \\
dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)=dimV1+dimV2
不作证明，应该有这个直觉能感知到（从基的角度看，
dim
(
V
1
+
V
2
)
\dim(V_1+V_2)
dim(V1+V2) 中只包含计算一次
dim
(
V
1
∩
V
2
)
\dim(V_1\cap V_2)
dim(V1∩V2) ；而
dim
V
1
+
dim
V
2
\dim V_1+\dim V_2
dimV1+dimV2 会重复计算两次
dim
(
V
1
∩
V
2
)
\dim(V_1\cap V_2)
dim(V1∩V2)；所以左边再加一个
V
1
∩
V
2
V_{1}\cap V_{2}
V1∩V2 的维度）
子空间的直和
子空间的直和仍是子空间的和，只不过是反映了两个子空间的关系比较特殊。设 V 1 、 V 2 V_1、V_2 V1、V2 是线性空间 V V V 的两个子空间，若其和空间 V 1 + V 2 V_{1}+V_{2} V1+V2 中的每一个元素 α ⃗ \vec{α} α，都能唯一地表示为 V 1 V_1 V1 的一个元素与 V 2 V_2 V2 的一个元素之和： α ⃗ = α 1 ⃗ + α 2 ⃗ , ( α 1 ⃗ ∈ V 1 , α 2 ⃗ ∈ V 2 ) \vec{α} = \vec{α_1} + \vec{α_2}, (\vec{α_1} \in V_1, \vec{α_2} \in V_2) α=α1+α2,(α1∈V1,α2∈V2)，那么和 V 1 + V 2 V_{1}+V_{2} V1+V2 则被称为直和，记为 V 1 ⊕ V 2 V_{1}\oplus V_{2} V1⊕V2. 以下四种表述等价：
- V 1 + V 2 V_{1}+V_{2} V1+V2 成为直和 V 1 ⊕ V 2 V_{1}\oplus V_{2} V1⊕V2；
- V 1 ∩ V 2 = { 0 ⃗ } V_1\cap V_2=\{\vec{0}\} V1∩V2={0}；
- dim ( V 1 + V 2 ) = dim V 1 + dim V 2 \dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2 dim(V1+V2)=dimV1+dimV2；
- x 1 ⃗ , x 2 ⃗ ⋯ , x s ⃗ \vec{x_1},\vec{x_2}\cdots,\vec{x_s} x1,x2⋯,xs 为 V 1 V_1 V1 的基， y 1 ⃗ , y 2 ⃗ ⋯ , y t ⃗ \vec{y_1},\vec{y_2}\cdots,\vec{y_t} y1,y2⋯,yt 为 V 2 V_2 V2 的基，则有： x 1 ⃗ , x 2 ⃗ ⋯ , x s ⃗ , y 1 ⃗ , y 2 ⃗ ⋯ , y t ⃗ \vec{x_1},\vec{x_2}\cdots,\vec{x_s},\vec{y_1},\vec{y_2}\cdots,\vec{y_t} x1,x2⋯,xs,y1,y2⋯,yt 为 V 1 + V 2 V_1+V_2 V1+V2 的基.
![YOLOv11融合IncepitonNeXt[CVPR2024]及相关改进思路](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/425cf7c25aa44613ae7e369681509a3e.png)
