布朗运动

news2024/11/5 16:45:15

内容来源

数理金融初步(原书第3版)Sheldon M. Ross著 冉启康译 机械工业出版社


布朗运动

定义

如果随机变量集合 X ( t ) X(t) X(t) 满足以下条件

  1. X ( 0 ) X(0) X(0) 是一个给定的常数

  2. 对所有正数 y y y t t t,随机变量 X ( y + t ) − X ( y ) X(y+t)-X(y) X(y+t)X(y) 独立于到 y y y 为止的所有过程值,且它服从均值为 μ t \mu t μt,方差为 t σ 2 t\sigma^2 tσ2 的正态分布

则称其为一个漂移参数为 μ \mu μ,方差参数为 σ 2 \sigma^2 σ2 的布朗运动

条件 2 2 2 表明,是过程的现值而不是任何的过去值决定了过程的将来值的概率

连续

X ( t ) X(t) X(t) 以概率 1 1 1 t t t 的连续函数

lim ⁡ h → 0 [ X ( t + h ) − X ( t ) ] \lim_{h\rightarrow0}[X(t+h)-X(t)] h0lim[X(t+h)X(t)]

随机变量 X ( t + h ) − X ( t ) X(t+h)-X(t) X(t+h)X(t) 的均值、方差分别为 μ h \mu h μh h σ 2 h\sigma^2 hσ2

h → 0 h\rightarrow0 h0 时,它收敛于一个均值为 0 0 0,方差为 0 0 0 的随机变量,即常数 0 0 0

处处不可微

lim ⁡ h → 0 X ( t + h ) − X ( t ) h \lim_{h\rightarrow0}\frac{X(t+h)-X(t)}{h} h0limhX(t+h)X(t)

X ( t + h ) − X ( t ) h \frac{X(t+h)-X(t)}{h} hX(t+h)X(t) 的均值为 μ \mu μ,方差为 σ 2 / h \sigma^2/h σ2/h

h → 0 h\rightarrow0 h0 时,方差显然不收敛

布朗运动可由一个相对简单的过程近似

Δ \Delta Δ 是一个很小的时间增量,考虑一个过程,使其在每个 Δ \Delta Δ 时间长度上,该过程或以概率 p p p 增加 σ Δ \sigma\sqrt{\Delta} σΔ ,或以概率 1 − p 1-p 1p 减少 σ Δ \sigma\sqrt{\Delta} σΔ ,其中

p = 1 2 ( 1 + μ σ Δ ) p=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\Delta}\right) p=21(1+σμΔ )

且该过程后面的改变值与前面的改变值是独立的

Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ0,该过程就变成了一个漂移参数为 μ \mu μ,方差参数为 σ 2 \sigma^2 σ2 的布朗运动

证明如下

X i = { 1 如果在时刻 i Δ 变化是增加 − 1 如果在时刻 i Δ 变化是减少 X_i=\begin{cases} 1&如果在时刻i\Delta变化是增加\\ -1&如果在时刻i\Delta变化是减少\\ \end{cases} Xi={11如果在时刻iΔ变化是增加如果在时刻iΔ变化是减少

再设 X ( 0 ) X(0) X(0) 表示过程在时刻 0 0 0 的值,那么 n n n 次变化之后,过程值为

X ( n Δ ) = X ( 0 ) + σ Δ ( X 1 + X 2 + ⋯ + X n ) X(n\Delta)=X(0)+\sigma\sqrt{\Delta}(X_1+X_2+\cdots+X_n) X(nΔ)=X(0)+σΔ (X1+X2++Xn)

那么

X ( t ) − X ( 0 ) = σ Δ ∑ i = 1 t / Δ X i X(t)-X(0)=\sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}_{i=1}X_i X(t)X(0)=σΔ i=1tXi

由于 X i X_i Xi 相互独立,当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ0 时,求和式 ∑ i = 1 t / Δ X i \sum^{t/\Delta}_{i=1}X_i i=1tXi 中的项变得足够多

根据中心极限定理,这个和收敛于一个正态随机变量

其均值与方差分别为

E [ X i ] = 1 ⋅ p − 1 ⋅ ( 1 − p ) = 2 p − 1 = μ σ Δ E[X_i]=1\cdot p-1\cdot(1-p)=2p-1=\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\Delta} E[Xi]=1p1(1p)=2p1=σμΔ

V a r ( X i ) = E [ X i 2 ] − E 2 [ X i ] = 1 − ( 2 p − 1 ) 2 Var(X_i)=E[X^2_i]-E^2[X_i]=1-(2p-1)^2 Var(Xi)=E[Xi2]E2[Xi]=1(2p1)2

因此

E [ X ( t ) − X ( 0 ) ] = E [ σ Δ ∑ i = 1 t / Δ X i ] = σ Δ ∑ i = 1 t / Δ E [ X i ] = σ Δ t Δ μ σ Δ = μ t \begin{align*} E[X(t)-X(0)]&= E\left[\sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}_{i=1}X_i\right]\\ &=\sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}_{i=1}E[X_i]\\ &=\sigma\sqrt{\Delta}\frac{t}{\Delta}\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\Delta}\\ &=\mu t \end{align*} E[X(t)X(0)]=E σΔ i=1tXi =σΔ i=1tE[Xi]=σΔ ΔtσμΔ =μt

V a r ( X ( t ) − X ( 0 ) ) = V a r ( σ Δ ∑ i = 1 t / Δ X i ) = σ 2 Δ ∑ i = 1 t / Δ V a r [ X i ] = σ 2 Δ t Δ [ 1 − ( 2 p − 1 ) 2 ] \begin{align*} Var(X(t)-X(0))&= Var\left(\sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}_{i=1}X_i\right)\\ &=\sigma^2\Delta\sum^{t/\Delta}_{i=1}Var[X_i]\\ &=\sigma^2\Delta\frac{t}{\Delta}[1-(2p-1)^2] \end{align*} Var(X(t)X(0))=Var σΔ i=1tXi =σ2Δi=1tVar[Xi]=σ2ΔΔt[1(2p1)2]

Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ0 时, p → 1 2 p\rightarrow\frac{1}{2} p21,由上式

V a r ( X ( t ) − X ( 0 ) ) → t σ 2 , Δ → 0 Var(X(t)-X(0))\rightarrow t\sigma^2,\Delta\rightarrow0 Var(X(t)X(0))tσ2,Δ0

综上,当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ0 时, X ( t ) − X ( 0 ) X(t)-X(0) X(t)X(0) 收敛于 N ( μ t , t σ 2 ) N(\mu t,t\sigma^2) N(μt,tσ2)

由于过程后面的改变与前面的改变独立,且每次改变增加或减少点概率是相同的

所以 X ( y + t ) − X ( y ) X(y+t)-X(y) X(y+t)X(y) X ( t ) − X ( 0 ) X(t)-X(0) X(t)X(0) 有相同分布

X ( y + t ) − X ( y ) X(y+t)-X(y) X(y+t)X(y) y y y 之前的过程改变是独立的

因此,当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ0 时,过程值在时间上的集合是一个漂移参数为 μ \mu μ,方差参数为 σ 2 \sigma^2 σ2 的布朗运动

布朗运动的重要性质

给定 X ( t ) = x X(t)=x X(t)=x,那么集合 X ( y ) , 0 ⩽ y ⩽ t X(y),0\leqslant y\leqslant t X(y),0yt 的条件概率分布与 μ \mu μ 的取值无关

更像是说明

s = X ( 0 ) s=X(0) s=X(0) 0 0 0 时刻的价格

考虑近似模型,其中价格是在 Δ \Delta Δ 的整倍数时间上变化的,其每次改变量的决定值相同,设为 c = σ Δ c=\sigma\sqrt{\Delta} c=σΔ (注意 c c c 不依赖于 μ \mu μ

t t t 时刻,变化次数为 t / Δ t/\Delta t,变化的量为 x − s x-s xs

则正改变有 t 2 Δ + x − s 2 c \frac{t}{2\Delta}+\frac{x-s}{2c} t+2cxs 次,负改变有 t 2 Δ − x − s 2 c \frac{t}{2\Delta}-\frac{x-s}{2c} t2cxs

由于每次改变都是独立的,因而在给定条件下,正改变在总改变中的每种排列都是等可能的

因此,尽管 p p p 依赖于 μ \mu μ,但到 t t t 时刻为止的历史值在 X ( t ) = x X(t)=x X(t)=x 下的条件分布不依赖于 μ \mu μ

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