抽样或采样是指从目标总体中抽取出部分个体也就是样本，通过对样本的属性或特征进行分析，以此对总体进行评估。采样作为一种重要的数据分析方法，在深度学习、渲染等诸多方面具有广泛的应用。本文将回顾一种基本的采样方法即逆变换采样。

一、逆变换采样原理

逆变换采样是一种直接且有效的方法，用于从均匀分布中生成服从指定分布的随机数。假定我们需要从某个概率密度函数为 $f(x)$ 的分布中采样，其对应的累计密度函数为：
$$F(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx\text{\hspace{1em}(1)}$$

我们的目标是找到一个单调递增的转换函数 $T(x)$, 使得我们从均匀分布 $U(0,1)$ 中采样的随机数 $a$， 经过该函数转换后服从上述分布：$T(a)\sim f(x)$。

进一步，如果将 $T(a)$ 当做一个随机变量，那么从累计分布函数的定义有：
$$P(T(a)\le x)=F(x)\text{\hspace{1em}(2)}$$
因为我们已经假设 $T(a)$ 是一个单调递增函数，因此我们可以用反函数对上式进行变换：
$$P(a\le T^{-1}(x))=F(x)\text{\hspace{1em}(3)}$$
又因为 $a$ 服从 $U(0,1)$, 所以有：
$$P(a\le T^{-1}(x))=T^{-1}(x)\text{\hspace{1em}(4)}$$
联立上述 (3) 和 (4) 就有：
$$T(x)=F^{-1}(x)\text{\hspace{1em}(5)}$$

为此，我们只需要将从均匀分布 $U(0,1)$ 中采样的大量随机数分别输入到累计分布函数的逆函数$F^{-1}(x)$即可实现预期的采样。

二、模拟实验

假设给定指数分布的概率密度函数如下：
$$f(x)=\{\begin{array}{llc}& 0;& x<0\\ & e^{-x};& x\ge 0\end{array}$$
其对应的累计分布函数为：
$$F(x)={\int }_0^x{e}^{-x}dx=1-e^{-x}$$

$F(x)$ 对应的逆函数为：
$$F^{-1}(x)=-\ln (1-x)$$

代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

# 设置样本数量
num_samples = 100000

# 生成均匀分布的随机样本
uniform_samples = np.random.uniform(size=num_samples)

# 应用逆变换采样方法
# 对于指数分布 e^(-x) (x >= 0)，其逆变换为 -ln(1 - u)，其中u是[0, 1)区间内的均匀随机变量
samples = -np.log(1 - uniform_samples)

# 绘制样本的直方图
plt.hist(samples, bins=50, density=True, alpha=0.75, color='blue', label='采样数据')

# 绘制指数分布的理论密度曲线
x = np.linspace(0, 10, 100)
plt.plot(x, np.exp(-x), 'r', label='理论密度曲线')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('密度')
plt.title('逆变换采样-指数分布')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

实验效果：

参考资料：
B站宝藏数学讲解：【数之道 21】随机抽样、蒙特卡洛模拟与逆转换方法