正规子群详述
定义：
设G是一个群，H是G的子群。若H的左陪集与右陪集总是相等（即对任何的a∈G，都有aH=Ha），则称H是G的正规子群或不变子群，记为H⊴G。
性质：
- 平凡性：任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群G和{e}（e为幺元）都是G的正规子群。
- 与交换群的关系：若G是交换群，则G的所有子群都是正规子群。
- 共享性：假设K和H都是G的子群，如果H是G的正规子群且H包含于K，那么H也是K的正规子群。
- 指数判别定理：设G为群，H是G的子群。如果H在G中的指数为2，则H是G的正规子群。
- 交集与乘积：设G是一个群，H1和H2是G的正规子群。那么H1和H2的交集以及H1与H2的乘积（作为子群）仍然是G的正规子群。但需注意，正规子群不具有传递性，即如果A是B的正规子群，B是C的正规子群，A不一定是C的正规子群。
判定方法：
- 根据定义判定：对于G中的任意元素g和H中的任意元素h，验证gh是否等于某个H中的元素k乘以g，即验证是否存在k∈H，使得gh=kg。
- 利用陪集判定：对于G中的任意元素a，验证aH是否等于Ha。
商群详述
定义：
设G是群，H是G的一个正规子群。H在G上的所有陪集组成的集合，以及陪集的乘法运算构成一个群，这个群被称为G关于H的商群，记为G/H。
性质：
- 运算定义：设两个陪集分别为aH和bH，则陪集的乘法运算为aH·bH=(ab)H。
- 单位元与逆元：商群G/H的单位元是H本身（即eH=H，其中e是G的单位元），元素aH的逆元是(a^(-1))H。
- 同态与同构：存在一个从G到G/H的自然满射同态π，它将G中的每个元素g映射到g所属的H的陪集上，即π(g)=gH。这个同态的核是H。如果K是包含H的G的子群，则对应的G/H的子群是π(K)。这个映射对于G的正规子群和G/H的子群也成立。特别地，如果σ:G→G'是一个满同态，N是σ的核，则G/N和G'同构。
- 简化结构：商群G/H在直觉上是把正规子群H“萎缩”为单位元的群，从而简化了原群G的结构。例如，在整数集Z（在加法下）的群和所有偶数构成的子群2Z的情况下，2Z是Z的正规子群，商群Z/2Z是两个元素的循环群，同构于集合{0,1}带有模2加法运算的群。
应用：
商群在数学和物理学等多个领域都有广泛的应用。例如，在代数学中，商群被用于研究群的同态和同构；在几何学中，可以利用变换群对几何学进行分类；在物理学中，群论和商群被用于描述对称性、守恒律以及粒子的分类等问题。
总结
综上所述，正规子群和商群是群论中的重要概念，它们具有独特的性质和广泛的应用价值。通过深入研究这些概念和性质，可以更好地理解群论以及与之相关的数学和物理学领域中的问题。
结语
业精于勤荒于嬉
行成于思毁于随
！！！
