洛谷 P1226：【模板】快速幂

news2024/10/27 0:28:41

【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P1226

【题目描述】
给你三个整数 a，b，p，求 a^b mod p。

【输入格式】
输入只有一行三个整数，分别代表 a，b，p。

【输出格式】
输出一行一个字符串 a^b mod p=s，其中 a，b，p 分别为题目给定的值，s 为运算结果。

【输入样例】
2 10 9

【输出样例】
2^10 mod 9=7

【说明/提示】
样例解释：2^10 =1024，1024 mod 9=7。
数据规模与约定：对于 100% 的数据，保证 0≤a,b<2^31，a+b>0，2≤p<2^31。

【算法分析】
● 快速幂，又称二进制取幂，是一个以 $O(logn)$ 的时间复杂度计算 $a^{n}$ 的小技巧，而暴力的计算需要 $O(n)$ 的时间复杂度。

● 快速幂的原理？
答：快速幂的原理为“将求幂的任务按照指数 $n$ 的二进制表示分割成更小的任务”。例如：
$3^{7}=3^{111_{(2)}}=3^{2^2} \times 3^{2^1} \times 3^{2^0}=3^4 \times 3^2\times 3^1$
$3^{11}=3^{1011_{(2)}}=3^{2^3} \times 3^{2^1} \times 3^{2^0}=3^8 \times 3^2\times 3^1$
因为 $n$ 有 $\left \lfloor log_2n \right \rfloor+1$ 个二进制位，因此当知道了 $a^1, a^2, a^4, a^8, \dots, a^{2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}}$ 后，我们只需计算 $O(log n)$ 次乘法就可以计算出 $a^n$ 。

● 快速幂经典代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

int fastPow(LL a,LL n) {
    LL ans=1;
    while(n){
        if(n & 1) ans=ans*a;
        n>>=1;
        a=a*a;
    }
    return ans;
}

int main() {
    int a,n;
    cin>>a>>n;
    cout<<fastPow(a,n)<<endl;
}

/*
in:6 8
out:1679616
*/

● 带取模的快速幂代码
计算过程中，为了防止溢出，需要进行“取模”运算，其运算规则如下：
(a+b)%p=(a%p+b%p)%p
(a-b)%p=(a%p-b%p)%p
(a*b)%p=(a%p*b%p)%p

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

int fastPow(LL a,LL b,LL p) {
    LL ans=1;
    while(b){
        if(b & 1) ans=ans*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return ans%p;
}

int main() {
    int a,b,p;
    cin>>a>>b>>p;
    cout<<a<<"^"<<b<<" mod "<<p<<"="<<fastPow(a,b,p)%p;
}

/*
in:2 10 9
out:2^10 mod 9=7
*/

【参考文献】
https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15588930.html
https://oi-wiki.org/math/binary-exponentiation/

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