题目来源

常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社

书中习题2.3

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2.求下列方程的解

(11)

$$x(4y\mathrm{d}x+2x\mathrm{d}y)+y^3(3y\mathrm{d}x+5x\mathrm{d}y)=0$$

由于

$$M=4xy+3y^4,N=2x^2+5x{y}^3$$

$$\frac{\partial M}{\partial y}=4x+12y^3\ne \frac{\partial N}{\partial x}=4x+5y^3$$

此方程不是恰当微分方程

因为 $M,N$ 为多项式，设积分因子的形式为 $\mu =x^m{y}^n$ ，原方程乘上积分因子变为

$$(4x^{m+1}{y}^{n+1}+3x^m{y}^{n+4})\mathrm{d}x+(2x^{m+2}{y}^n+5x^{m+1}{y}^{n+3})\mathrm{d}y=0$$

它是恰当微分方程的充要条件为

$$4(n+1)x^{m+1}{y}^n+3(n+4)x^m{y}^{n+3}=2(m+2)x^{m+1}{y}^n+5(m+1)x^m{y}^{n+3}$$

对比系数项得

$$\{\begin{array}{l}4(n+1)=2(m+2)\\ 3(n+4)=5(m+1)\end{array}$$

解得 $m=2,n=1$

所以积分因子为 $\mu =x^{2}y$ ，之后套公式就可以了，通解为

$$x^4{y}^2+x^3{y}^5=c$$

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3.试导出方程 $M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0$ 分别具有形为 $\mu (x+y)$ 和 $\mu (xy)$ 的积分因子的充要条件

假设方程具有 $\mu (x+y)$ 的积分因子

令 $z=x+y$ ，则 $\mu (x+y)=\mu (z)$ ，且

$$\frac{\partial \mu }{\partial x}=\frac{\partial \mu }{\partial y}=\frac{\partial \mu }{\partial z}$$

所以由

$$\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}$$

$$N\frac{\partial \mu }{\partial x}-M\frac{\partial \mu }{\partial y}=\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)\mu$$

$$(N-M)\frac{\mathrm{d}\mu }{\mathrm{d}z}=\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)\mu (z)$$

即

$$\frac{\mathrm{d}\mu }{\mu (z)}=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N-M}\mathrm{d}z$$

当

$$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N-M}=f(z)=f(x+y)$$

成立时，可以解出 $\mu$ ，这就是方程具有 $\mu (x+y)$ 的积分因子的充要条件

没有分充分性必要性一一证明，凑合用吧

同理，令 $w=xy$ ，则

$$\frac{\partial \mu }{\partial x}=y\frac{\partial \mu }{\partial w},\frac{\partial \mu }{\partial y}=x\frac{\partial \mu }{\partial w},$$

由判定恰当微分方程的式子

$$(yN-xM)\frac{\mathrm{d}\mu }{\mathrm{d}w}=\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)\mu (w)$$

方程具有 $\mu (xy)$ 的积分因子的充要条件

$$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{yN-xM}=g(xy)$$