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前言

本文给出带噪信号的时域和频域分析，指出频域分析在处理带噪信号时的优势。

首先使用MATLAB生成一段信号，并在信号上叠加高斯白噪声得到带噪信号，然后对带噪信号对其进行FFT变换，得出其频谱，并对其频谱进行分析，阐述加性高斯白噪声对信号频谱的影响。

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一、MATLAB仿真代码

代码如下：

f1 = 50;                       % 余弦波1的频率
f2 = 100;                      % 余弦波2的频率
A1 = 0.7;                      % 余弦波的振幅
A2 = 1;                        % 余弦波的振幅
fs = 1000;                     % 采样率                   
Ts = 1/fs;                     % 采样时间间隔    
L = 1500;                      % 信号长度，单位sample
t = (0:L-1)*Ts;                % 时间向量

% 合成信号包含两个正弦波，幅值为0.7的50Hz正弦波和幅值为1的100Hz正弦波
s = A1*sin(2*pi*f1*t) + A2*sin(2*pi*f2*t);

% 信号加白噪声
x = s + 2*randn(size(t));      % 白噪声均值为零、方差为4

% 绘制带噪信号的时域波形。通过时域波形，难以辨认出有用信号。
figure()
plot(1000*t(1:100),x(1:100),'LineWidth',1.5)
grid on
title('被零均值随机噪声污染的信号')
xlabel('t/ms')
ylabel('x(t)')

% 将信号变换到频域
Y = fft(x);

% 计算信号的单边幅度频谱
P2 = abs(Y/L);                 % 计算双边幅度频谱P2
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);   % 基于双边幅度谱P2计算单边幅度频谱P1

% 绘制单边幅度频谱
f = fs*(0:(L/2))/L;            % 频域的频率刻度，单位Hz
figure()
plot(f,P1,'LineWidth',1.5)
grid on
title('带噪信号x(t)的单边幅度谱')
xlabel('频率（Hz）')
ylabel('频谱幅度|P1(f)|')

二、仿真结果画图

时域波形图：

带噪信号的频谱（单边谱）：

（1）时域分析：
从时域波形几乎看不出原始信号，也就是说信号被严重干扰了。

（2）频域分析：
观察带噪信号的频谱，可以发现：(1)带噪信号频率与预期相符，即与原始信号一致，因为加性高斯白噪声并不带来信号频移；(2)噪声导致幅值并不精确等于0.7和1。

总结

对于被噪声污染的信号，干扰严重时，我们几乎难以从时域波形看到期待的信号，此时，就需要借助频域分析，从频谱上将很容易发现信号的特征，这对我们做信号分析和提取都非常有帮助。

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