公式 8-11 的内容如下：

$$L(y,a)=-[y\log a+(1-y)\log (1-a)]$$

这个公式表示的是交叉熵损失函数（Cross-Entropy Loss Function），它广泛用于二分类问题，尤其是神经网络的输出层为 sigmoid 激活函数的情况下。让我们详细解释这个公式的含义。

1. 公式的组成部分：

• $y$：表示真实标签，它的值通常为 0 或 1。

  • $y=1$ 表示样本属于正类。
  • $y=0$ 表示样本属于负类。

• $a$：表示模型的预测输出值。由于此处的激活函数为 Sigmoid 函数，所以输出 $a$ 是一个概率值，范围为 $0\le a\le 1$。可以理解为模型预测该样本属于正类的概率。

• $\log a$ 和 $\log (1-a)$：分别表示预测为正类和负类时的对数损失。

2. 交叉熵损失的解释：

交叉熵损失是用来衡量两个概率分布之间的差异。在这里，它衡量的是模型的预测概率分布 $a$ 与真实分布 $y$ 之间的差异。损失函数的形式通过对数函数来放大预测误差较大的情况，以此来惩罚错误的预测。

• 当 $y=1$ 时：
  $$L(y,a)=-\log a$$

  这意味着我们只考虑预测为正类的概率 $a$。如果预测 $a$ 越接近 1，损失就越小；反之，预测越接近 0，损失越大。

• 当 $y=0$ 时：
  $$L(y,a)=-\log (1-a)$$

  这意味着我们只考虑预测为负类的概率 $1-a$。如果预测 $a$ 越接近 0（即 $1-a$ 越接近 1），损失就越小；反之，预测 $a$ 越接近 1，损失就越大。

3. 交叉熵损失函数的推导：

交叉熵损失函数的基本形式是：
$$L(y,a)=-[y\log a+(1-y)\log (1-a)]$$

这个公式是通过信息熵推导得到的。它衡量了真实标签 $y$ 和预测输出 $a$ 之间的不一致程度。公式的两部分分别对应着：

• 当 $y=1$ 时，只考虑 $\log a$ 部分，因为我们希望模型的预测 $a$ 越接近 1 越好。
• 当 $y=0$ 时，只考虑 $\log (1-a)$ 部分，因为我们希望 $a$ 越接近 0 越好。

4. 交叉熵损失函数的性质：

• 凸性：交叉熵损失函数是一个凸函数，因此使用梯度下降等优化算法可以找到全局最小值。
• 惩罚错误预测：当模型的预测与真实标签差距较大时，交叉熵损失的值会迅速增大。因此，它可以有效惩罚错误的预测，并推动模型朝着正确预测的方向优化。

5. 交叉熵损失的意义：

交叉熵损失函数在神经网络的训练过程中非常重要，特别是在分类任务中。它结合了模型的预测输出和真实标签，提供了一个衡量预测准确性的标准。在反向传播中，我们通过最小化这个损失函数来调整模型的权重，从而提高模型的预测能力。

举个例子：

假设某个样本的真实标签为 $y=1$，而模型的预测为 $a=0.9$：
$$L(y,a)=-[1\log 0.9+(1-1)\log (1-0.9)]=-\log 0.9\approx 0.105$$

此时损失比较小，因为模型的预测接近真实值。

如果模型的预测为 $a=0.1$，则：
$$L(y,a)=-[1\log 0.1+(1-1)\log (1-0.1)]=-\log 0.1=1$$

此时损失较大，说明预测误差大。

总结：

公式 8-11 定义的是交叉熵损失函数，用于衡量模型预测与真实标签之间的差异。通过最小化这个损失函数，我们可以不断调整模型的参数，使得模型的预测更加准确。交叉熵损失函数的特点在于它能够有效地惩罚错误的预测，并且是凸函数，适合用梯度下降进行优化。