一、线性回归（Linear Regression）

1. 定义

线性回归是一种用于回归问题的算法，旨在找到输入特征与输出值之间的线性关系。它试图通过拟合一条直线来最小化预测值与真实值之间的误差。

2. 模型表示

线性回归模型假设目标变量（输出）和输入变量（特征）之间的关系是线性的，模型可以表示为：

其中：

• y是目标变量（预测值）。
• x1​,x2​,…,xn​ 是输入特征。
• β0​ 是偏置项（截距）。
• β1,β2,…,βn​ 是特征的系数（权重）。
• ϵ是误差项。

3. 损失函数

线性回归的目标是最小化均方误差（Mean Squared Error, MSE），其损失函数定义为：

其中，yi 是真实值，y^i是模型预测值。

4. 解决方法

通过**最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）**或梯度下降等方法，求解模型中的参数（权重和偏置项）。

二、逻辑回归（Logistic Regression）

1. 定义

逻辑回归是一种用于分类问题的算法，尽管名字中有“回归”一词，它本质上是一种分类算法，特别适用于二分类问题（如0/1、是/否、真/假等）。它通过估计事件发生的概率来进行分类。

2. 模型表示

逻辑回归的模型形式与线性回归类似，但它的输出是一个概率值，通过将线性回归结果输入到Sigmoid函数中，得到的值在0到1之间：

 其中，P(y=1∣x)P(y=1 | x)P(y=1∣x) 是类别为1的概率。

• Sigmoid函数定义为：

 Sigmoid函数将线性回归的结果（可能为任意实数）映射到0和1之间，便于表示概率。

3. 损失函数

逻辑回归使用交叉熵损失（Cross-Entropy Loss），其损失函数为：

 其中：

• yi是真实的标签（0或1）。
• y^i是模型的预测概率。

4. 解决方法

逻辑回归的参数可以通过梯度下降等优化算法来求解。

三、线性回归与逻辑回归的区别 

特征	线性回归（Linear Regression）	逻辑回归（Logistic Regression）
类型	回归算法（用于预测连续值）	分类算法（用于预测类别）
目标变量	连续型变量（如价格、温度等）	二分类变量（0/1, 是/否等）
模型输出	实数（可能在正无穷到负无穷之间）	概率（0到1之间）
使用的函数	线性函数	Sigmoid函数
损失函数	均方误差（MSE）	交叉熵损失（Cross-Entropy）
应用场景	回归问题，如房价预测、销量预测等	分类问题，如信用违约预测、疾病诊断
解决方法	最小二乘法或梯度下降	梯度下降等优化方法
输出解释	直接预测一个值	预测某个事件发生的概率
特征之间的关系	假设特征与目标值之间存在线性关系	假设特征与分类概率之间有线性关系

主要区别总结：

1. 问题类型：线性回归用于解决回归问题，预测连续变量，而逻辑回归用于解决分类问题，通常是二分类问题。
2. 输出值：线性回归的输出是一个实数，可能范围从负无穷到正无穷；逻辑回归的输出是一个0到1之间的概率值。
3. 模型函数：线性回归直接使用线性函数进行预测，而逻辑回归将线性回归的结果通过Sigmoid函数转化为概率。
4. 损失函数：线性回归使用均方误差（MSE）作为损失函数，而逻辑回归使用交叉熵损失（Cross-Entropy）。

 四、具体实践：Python代码示例

线性回归

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 加载数据
boston = load_boston()
X = boston.data
y = boston.target

# 分割数据
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# 训练模型
model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)

# 预测
y_pred = model.predict(X_test)

# 计算均方误差
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
print(f'Mean Squared Error: {mse:.2f}')

 逻辑回归

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
from sklearn.metrics import accuracy_score

# 加载数据
cancer = load_breast_cancer()
X = cancer.data
y = cancer.target

# 分割数据
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# 训练模型
model = LogisticRegression(max_iter=10000)
model.fit(X_train, y_train)

# 预测
y_pred = model.predict(X_test)

# 计算准确率
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f'Accuracy: {accuracy:.2f}')