【万字长文】Word2Vec计算详解（一）CBOW模型

写在前面

本文用于记录本人学习NLP过程中，学习Word2Vec部分时的详细过程，本文与本人写的其他文章一样，旨在给出Word2Vec模型中的详细计算过程，包括每个模块的计算过程，模块形状变化等，最后给出了Word2Vec的两种优化方法----负采样与分层（层次）Softmax，下面开始介绍。
写到一半时发现字数过多，需要拆分文章QAQ，那就分层三期把，分别介绍CBOW模型，Skip-gram模型，和优化部分。

【万字长文】Word2Vec计算详解（一）CBOW模型 markdown行 9000+
【万字长文】Word2Vec计算详解（二）Skip-gram模型 markdown行 12000+
【万字长文】Word2Vec计算详解（三）分层Softmax与负采样 markdown行 18000+

背景

在自然语言处理（NLP）领域，理解和表示单词之间的语义关系是一个长期存在的问题。传统上，这一挑战通过诸如one-hot编码等简单方法来解决。

one-hot局限性

1.$\text{one-hot向量是高维稀疏向量:}$
在one-hot编码中，每个单词都被表示为一个非常长的向量，这个向量的长度等于词汇表中的单词总数。在这个向量中，表示当前单词的位置被标记为1，其余位置均为0。这种表示方法导致了极高的维度和稀疏性。例如，如果词汇表包含10,000个单词，每个单词就会被表示为一个有10,000个元素的向量，其中只有一个元素是1，其余都是0。
2. $\text{无法捕获词之间的语义相似性:}$
由于每个单词的向量在只有一个维度上有值，而其他所有维度均为零，因此任何两个不同的单词的向量之间的距离（无论是欧氏距离、余弦相似性还是其他度量）都是相同的。这意味着one-hot编码无法表达单词间的语义关系或相似性。例如，“狗”和“猫”在现实世界中具有较高的语义相似性，因为它们都是宠物，但在one-hot编码中，它们之间的距离与“狗”和“冰箱”之间的距离完全相同。
3. $\text{无法利用上下文信息:}$
one-hot编码仅仅关注单词的标识，忽略了单词在句子中的上下文环境。单词的语义往往依赖于其使用的上下文，但是one-hot编码无法捕捉这种依赖关系。

随后，更复杂的统计方法被开发出来，用于解决one-hot向量出现的问题 $（待补充one-hot到Word2Vec之间的一些统计方法$。这些方法旨在通过分析词在大量文本中的共现信息来推断词义，但这些方法往往计算量大，效率低，且仍然难以充分捕捉词义的丰富性。

常用的两种Word2Vec模型

2013年，Google开源了一款用于词向量计算的工具——Word2Vec，引起了工业界和学术界的关注。首先，Word2Vec可以在百万数量级的词典和上亿的数据集上进行高效地训练；其次，该工具得到的训练结果——词向量（word embedding），可以很好地度量词与词之间的相似性。Word2Vec算法或模型，其实指的是其背后用于计算word vector的 CBOW 模型和 Skip-gram 模型。Word2Vec 利用浅层神经网络从大量文本中学习低维且密集的词向量表示，这些向量能够有效地捕捉词之间的语义和语法关系。与之前的方法相比，Word2Vec 不仅提高了表示的质量，还显著提升了训练速度和效率。Word2Vec 通过提供一种高效、有效的词表示方法，解决了长期存在的词义表示问题，其影响深远，不仅改进了词义的捕捉能力，也为 NLP 的进一步研究和应用开辟了新的道路。下面将具体介绍 Word2Vec 中的两个模型。

CBOW模型

$\text{CBOW(continuous bag-of-words)}$模型的核心思想是利用一个词的上下文（即周围的词）来预测这个词本身。在自然语言处理（NLP）领域，理解单词的含义常常需要考虑其上下文，因为上下文提供了关于单词用法和语义的重要线索。

模型结构

CBOW模型的输入是上下文文本单词的one-hot向量，通过线性变换压缩成一个单词向量，然后再通过一次线性变换得到一个单词得分表，最后经过多分类得到要预测的单词。CBOW的模型结构如图下所示。

预处理

在正式介绍模型输入前，需要简单介绍模型输入前的处理。给定一个语料库 text，我们要将其处理成能够用于模型输入的 one-hot 向量。首先去重，然后将单词与标点符号按读入顺序放入集合corpus，并另外存储一份单词与索引直接查询的字典：word_to_id 和 id_to_word。参考代码程序见附录Word2Vec（一）中的preprocess函数。

随后是将单词集合corpus也就是词汇表Vocabulary转换为 one-hot 表示，具体函数如附录Word2Vec（一）中的convert_one_hot函数。

其中 corpus是单词集合，vocab_size 是单词集合的大小也就是 len(corpus)。这样我们得到了语料库的 one-hot编码。

模型输入

在模型中，将一个词的上下文词表示为独热编码（one-hot encoding）向量然后并作为模型的一个输入。上下文的词的多少取决于窗口大小 $C$，例如当窗口大小为2时，上下文为目标单词的前两个词和后两个词，共4个词。于是我们的输入
$$X=(x_{i-c},x_{i-c+1},\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_{i+c})\in {\mathbb{R}}^{V\times 2C}$$
其中，$x_i$为目标单词，其中 $x_i\in {\mathbb{R}}^{V\times 1}$，$X$ 。例如，目标单词索引$i$为$3$时且窗口大小为$2$时，$X=(x_1,x_2,x_4,x_5)$。

权重输入层

在这一层，我们将目标单词$x_i$的上下文的 one-hot 编码与隐藏层的权重输入矩阵 $W$ 相乘再加上置偏值 $b\in {\mathbb{R}}^{D\times 1}$ 得到 $x_j^{\prime }$，即 $X_j^{\prime }=W{X}_j+b$， 其中 $x_j^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{D\times 1}$，$j=(i-C,i-C+1,\dots ,i-1,i+1,\dots ,i+C)$。写成矩阵的形式为

$$X^{\prime }=WX+b$$

其中，$X=[x_{i-C},x_{i-C+1},\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_{i+C}]$，$X^{\prime }=[x_{i-C}^{\prime },x_{i-C+1}^{\prime },\dots ,x_{i-1}^{\prime },x_{i+1}^{\prime },\dots ,x_{i+C}^{\prime }]$。

加权平均层

我们将输入层得到的所有 $X_j^{\prime }$ 进行加权平均得到 $h$。

$$h=\sum _{j=i-C,j\ne i}^{i+C}{x}_j^{\prime }=\frac{1}{2C}(x_{i-C}^{\prime }+\dots x_{i-1}^{\prime }+x_{i+1}^{\prime }+\cdots +x_{i+C}^{\prime })$$

其中 $C$ 是窗口大小， $h\in {\mathbb{R}}^{D\times 1}$。写成矩阵的形式为

$$h=\frac{1}{2C}{X}^{\prime }\vec{j}$$
其中$\vec{j}=[1,1,\dots ,1,1]$为$2C$行$1$列的向量。

权重输出层

我们将得到 $h$ 与隐藏层的权重输出矩阵 $W^{\prime }$ 相乘再加上置偏值 $b^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{V\times 1}$ 得到每个单词得分的向量$P$。 $P=(P_1,P_2,\dots ,P_V{)}^T$，$P_i\in R$ 表示为位置索引为 $i$ 处的单词的得分。$P\in {\mathbb{R}}^{V\times 1}$。写成矩阵的形式为
$$P=W^{\prime }h+b^{\prime }$$

Softmax层

我们将输出层得到的的得分用 Softmax 处理为概率$P^{\prime }$。 $P^{\prime }=(p_1^{\prime },p_2^{\prime },\dots ,p_V^{\prime }{)}^T$，$p_i^{\prime }$ 表示位置索引为 $i$ 处的单词的概率。其中 $P^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{V\times 1}$。计算公式如下所示。
$$p_i^{\prime }=\text{softmax}(p_i)=\frac{\exp (p_i)}{\sum _{k=1}^V\exp (p_k)}$$
其中 $P=(p_1,p_2,\dots ,p_V{)}^T$，$p_i$ 为 $P$ 中的某一项。$P^{\prime }=(p_1^{\prime },p_2^{\prime },\dots ,p_V^{\prime }{)}^T$，$p_i^{\prime }$ 为 $P^{\prime }$ 中的某一项。

模型输出

模型的输出是在 $P^{\prime }$ 中取出最大概率对应位置的值设为1，其他位置设置为0，我们将得到一个one-hot编码。从该one-hot编码我们可以找到对应的单词，我们将其作为预测结果单词。这就是CBOW模型的输出。

简单的CBOW例子

下面给定一个例子来解释 CBOW 模型的计算。假设语料库为 text = 'The cat plays in the garden, and the cat chases the mouse in the garden.'我们使用预处理给处给出的函数 preprocess 和 convert_one_hot 进行处理，分别得到以下结果。

index	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$x_i$	$x_0$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	$x_8$	$x_9$
word	the	cat	plays	in	garden	,	and	chases	mouse	.

preprocess 函数得到后的结果（词汇表）

由上表展示了词汇表的信息，我们得到词汇表的大小 $V=10$。下面是 转换得到的one-hot矩阵我们标记其为 $X$。$X$ 中对应的一列为相应索引单词的 one-hot向量，即用$x_i$表示该索引位置为 $i$ 的one-hot向量。例如$x_i=(0,1,0,0,0,0,0,0,0)$ 代表“the”。

$$X_{onehot}=(x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9)\left[\begin{array}{cccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

我们假设窗口大小 $C=2$，隐藏层的维数 $D=4$ ，并且要给定 “plays” 的上下文进行预测。我们可以得到模型输入是$x_0$ ， $x_1$ ， $x_3$ ， $x_0$，对应单词分别为 the、cat、in、the。则 $X=(x_0,x_1,x_3,x_0)$，在下方展示。 我们对输入权重权重矩阵 $W$ 进行初始化，$W$初始值是$[0,1)$之间的随机数，包含0，不包含1。

$$X=(x_0,x_1,x_3,x_0)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}0.0513\\ -1.1577\\ 0.8167\\ 0.4336\end{array}\right]$$

$$W=\left[\begin{array}{cccccccccc}-0.2047& 0.4789& -0.5194& -0.5557& 1.9657& 1.3934& 0.0929& 0.2817& 0.769& 1.2464\\ 1.0071& -1.2962& 0.2749& 0.2289& 1.3529& 0.8864& -2.0016& -0.3718& 1.669& -0.4385\\ -0.5397& 0.4769& 3.2489& -1.0212& -0.577& 0.1241& 0.3026& 0.5237& 0.0009& 1.3438\\ -0.7135& -0.8311& -2.3702& -1.8607& -0.8607& 0.5601& -1.2659& 0.1198& -1.0635& 0.3328\end{array}\right]$$

接下来是权重输入层的运算。我们将 $W$ 与 $X$ 进行矩阵乘法运算再加上置偏值 $b$，计算得到 $X^{\prime }$。

$$X^{\prime }=WX+b=\left[\begin{array}{cccc}-0.1533& 0.5302& -0.5043& -0.1533\\ -0.1506& -2.4539& -0.9288& -0.1506\\ 0.277& 1.2936& -0.2044& 0.277\\ -0.2798& -0.3974& -1.427& -0.2798\end{array}\right]$$

接下来进行加权平均层的计算，也就是将 $X^{\prime }$每行中的 $4$个值进行相加，得到 $4\times 1$ 的向量 $h$ 。

$$h=\frac{1}{4}{X}^{\prime }=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c}-0.1533+0.5302-0.5043-0.1533\\ -0.1506-2.4539-0.9288-0.1506\\ 0.277+1.2936-0.2044+0.277\\ -0.2798-0.3974-1.427-0.2798\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-0.0701\\ -0.9209\\ 0.4108\\ -0.596\end{array}\right]$$

接下来是权重输出层。我们将 $W^{\prime }$ 进行初始化。然后进行运算 $W^{\prime }h$，然后再加上置偏值 $b^{\prime }$ 得到评分 $P$。

$$W^{\prime }=\left[\begin{array}{cccc}-2.3594& -0.1995& -1.5419& -0.9707\\ -1.307& 0.2863& 0.3779& -0.7538\\ 0.3312& 1.3497& 0.0698& 0.2466\\ -0.0118& 1.0048& 1.3271& -0.9192\\ -1.5491& 0.0221& 0.7583& -0.6605\\ 0.8625& -0.01& 0.05& 0.6702\\ 0.8529& -0.9558& -0.0234& -2.3042\\ -0.6524& -1.2183& -1.3326& 1.0746\\ 0.7236& 0.69& 1.0015& -0.503\\ -0.6222& -0.9211& -0.7262& 0.2228\end{array}\right],b^{\prime }=\left[\begin{array}{c}1.0107\\ 1.8248\\ -0.9975\\ 0.85059\\ -0.1315\\ 0.9124\\ 0.1882\\ 2.1694\\ -0.1149\\ 2.0037\end{array}\right]$$

$$P=W^{\prime }h+b^{\prime }=\left[\begin{array}{c}1.0107\\ 1.8248\\ -0.9975\\ 0.8505\\ -0.1315\\ 0.9124\\ 0.1882\\ 2.1694\\ -0.1149\\ 2.0037\end{array}\right]$$

接下来是 Softmax 层，计算公式如下公式所示，计算过程如下：
$$P^{\prime }=Softmax(P)=\frac{P}{\sum _{k=1}^V\exp (P_k)}=\frac{{\left[\begin{array}{cccccccccc}{e}^{1.0107}& e^{1.8248}& e^{-0.9975}& e^{0.8505}& e^{-0.1315}& e^{0.9124}& e^{0.1882}& e^{2.1694}& e^{-0.1149}& e^{2.0037}\end{array}\right]}^T}{e^{1.0107}+e^{1.8248}+e^{-0.9975}+e^{0.8505}+e^{-0.1315}+e^{0.9124}+e^{0.1882}+e^{2.1694}+e^{-0.1149}+e^{2.0037}}={\left[\begin{array}{cccccccccc}0.0714& 0.185& 0.0017& 0.0536& 0.0375& 0.0313& 0.2076& 0.1661& 0.0177& 0.2276\end{array}\right]}^T$$

根据$P^{\prime }$，我们了解到概率最大的值为 $0.2276$，也就是索引位置在 $9$位置的单词，对应的one-hot向量为 $[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1{]}^T$，也就是单词 “.”（句号）。于是我们输出预测的单词是 “.”（句号）。

下面依据上面模型结构中的例子继续，用来解释损失函数的计算。

损失函数

损失函数是在 CBOW 模型结构中的 CrossEntropyError 模块中，意为计算交叉熵损失。交叉熵损失的计算公式会在下面展示。CrossEntropyError 的输入是 Softmax 层计算得到的概率向量 $P^{\prime }$，和正确的监督标签$T$ ，其中$P^{\prime }=(P_1^{\prime },P_2^{\prime },\dots ,P_V{)}^T$，正确的监督标签 $T=(t_1,t_2,\dots ,t_V{)}^T$ 就是正确答案单词的 one-hot 向量。

$$\text{Loss}=-\sum _{i=1}^V{t}_i\log (P_i^{\prime })$$

这里我们可以直观地进行理解，one-hot 向量在正确的索引位置上才是 1 ，其他位置都是 0 ，那么上面的公式表示提取出正确答案的概率，由于输出是概率，取值值在 [0,1]之间，在使用 log 函数的时候得到值是负的，而且概率越高，log 后的值越大，取负号可以很好的表示损失。

小结

CBOW 模型训练的基本步骤包括：

1.将上下文词进行 one-hot 表征作为模型的输入
$$X=(x_{i-C},x_{i-C+1},\dots ,x_{i-1},x_i,\dots ,x_{i+C-1},x_{i+C})\in {\mathbb{R}}^{V\times 2C}$$
其中$i$为目标单词的位置词 ，$C$为上下文单词数量，$V$为汇表的维度；

2.然后将所有上下文词汇的 one-hot 向量分别乘以权重输入层的权重输入矩阵$W\in {\mathbb{R}}^{D\times V}$ 在加上置偏值 $b$得到加权平均层输入 $X^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{V\times 2C}$，即
$$X^{\prime }=WX+b$$

3.将上一步得到的$X^{\prime }$，对各个列向量$x_i$相加取平均作为隐藏层向量$h\in {\mathbb{R}}^{D\times 1}$，即
$$h=\frac{1}{2C}{X}^{\prime }\vec{j}$$
其中$D$ 为隐藏层的维数，$\vec{j}=[1,1,\dots ,1,1]$为$2C$行$1$列的向量。

4.随后将隐藏层向量 $h$ 乘以隐藏层到输出层的权重$W^{\prime }$再加上置偏值 $b^{\prime }$得到单词得分向量$P\in {\mathbb{R}}^{V\times 1}$，即
$$P=W^{\prime }h+b^{\prime }$$

5.将计算得到的得分向量$P$通过 Softmax 激活处理得到 $V$ 维的概率分布$P^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{V\times 1}$，即
$$P^{\prime }=\text{Softmax}(P)$$

6.通过概率分布取概率最大的索引作为预测的目标词。通过概率分布和one-hot 监督标签用交叉熵损失计算损失。

我们的目标是通过梯度下降让损失函数变小，使模型学习到如何根据上下文的信息推断出最可能的目标词，训练结束得到的 $W$ 或 $W^{\prime }$ 作为训练的副产物就是我们的词向量（矩阵）。

附录

预处理的参考程序代码

	def preprocess(text):
		text = text.lower()
		text = text.replace('.', ' .')
		text = text.replace(',', ' ,')
		text = text.replace('!', ' !')
		
		words = text.split(' ')
		
		word_to_id = {}
		id_to_word = {}
		for word in words:
			if word not in word_to_id:
				new_id = len(word_to_id)
				word_to_id[word] = new_id
				id_to_word[new_id] = word
				corpus = np.array([word_to_id[w] for w in words])
		return corpus, word_to_id, id_to_word	

预处理转换为one-hot表示程序代码

	def convert_one_hot(corpus, vocab_size):	
		N = corpus.shape[0]		
		if corpus.ndim == 1:
			one_hot = np.zeros((N, vocab_size), dtype=np.int32)
			for idx, word_id in enumerate(corpus):
			one_hot[idx, word_id] = 1		
		elif corpus.ndim == 2:
			C = corpus.shape[1]
			one_hot = np.zeros((N, C, vocab_size), dtype=np.int32)
			for idx_0, word_ids in enumerate(corpus):
				for idx_1, word_id in enumerate(word_ids):
					one_hot[idx_0, idx_1, word_id] = 1		
		return one_hot

其中 corpus是单词集合，vocab_size 是单词集合的大小也就是 len(corpus)。