Chapter 5 Lump Modeling

为了将机械系统转换为等效电路，我们需要将各个机械元件转换为相应的电气元件。以下是机械元件和其电气等效元件的对照关系：

1. 质量（m） - 转换为 电感（L）
2. 弹簧（k） - 转换为 电容（C）
3. 阻尼器（b） - 转换为 电阻（R）

在机械系统中，力 $F$ 对应电气系统中的电压 $V$，位移 $x$ 对应电气系统中的电荷 $q$ 或电流 $i$。

根据图片中的机械系统，可以逐步绘制等效电路：

机械系统描述

• 质量 $m_1$ 和 $m_2$
• 弹簧 $k_1$ 和 $k_2$
• 阻尼器 $b$

等效电路转换

• 质量 $m_1$ 和 $m_2$ 转换为电感 $L_1$ 和 $L_2$
• 弹簧 $k_1$ 和 $k_2$ 转换为电容 $C_1$ 和 $C_2$
• 阻尼器 $b$ 转换为电阻 $R$

具体转换步骤

1. 弹簧 $k_1$ 转换为 电容 $C_1$：
   $$C_1=\frac{1}{k_1}$$
2. 质量 $m_1$ 转换为 电感 $L_1$：
   $$L_1=m_1$$
3. 阻尼器 $b$ 转换为 电阻 $R$：
   $$R=b$$
4. 弹簧 $k_2$ 转换为 电容 $C_2$：
   $$C_2=\frac{1}{k_2}$$
5. 质量 $m_2$ 转换为 电感 $L_2$：
   $$L_2=m_2$$

绘制等效电路

1. 电压源 $V$ 对应力 $F$
2. 电容 $C_1$ 串联电阻 $R$，然后与电感 $L_1$ 串联
3. 电感 $L_1$ 后接电容 $C_2$ 串联电感 $L_2$

最终得到的等效电路如下图所示：

  V  -->  |----C1----R----L1----C2----L2----|

要找到电路的传递函数 $\frac{I_1(s)}{V(s)}$，我们需要使用复阻抗分析。该电路包含一个电阻 $R$、两个电容 $C_1$ 和 $C_2$，以及两个电感 $L_1$ 和 $L_2$。我们首先计算每个元件的复阻抗。

复阻抗

• 电阻 $R$：阻抗 $Z_R=R$
• 电容 $C$：阻抗 $Z_C=\frac{1}{sC}$
• 电感 $L$：阻抗 $Z_L=sL$

对于图中的电路：

• 电容 $C_1$ 的阻抗：$Z_{C1}=\frac{1}{s{C}_1}$
• 电感 $L_1$ 的阻抗：$Z_{L1}=s{L}_1$
• 电容 $C_2$ 的阻抗：$Z_{C2}=\frac{1}{s{C}_2}$
• 电感 $L_2$ 的阻抗：$Z_{L2}=s{L}_2$

等效阻抗计算

首先，找到电路的总阻抗。

并联阻抗

$C_2$ 和 $L_2$ 并联：
$$Z_{C2L2}={\left(\frac{1}{Z_{C2}}+\frac{1}{Z_{L2}}\right)}^{-1}={\left(\frac{1}{\frac{1}{s{C}_2}}+\frac{1}{s{L}_2}\right)}^{-1}={\left(s{C}_2+\frac{1}{s{L}_2}\right)}^{-1}=\frac{1}{s{C}_2+\frac{1}{s{L}_2}}=\frac{s{L}_2}{s^2{L}_2{C}_2+1}$$

串联阻抗

将 $Z_{C2L2}$ 与 $L_1$ 串联：
$$Z_{L1C2L2}=Z_{L1}+Z_{C2L2}=s{L}_1+\frac{s{L}_2}{s^2{L}_2{C}_2+1}$$

将 $Z_{L1C2L2}$ 与 $C_1$ 串联：
$$Z_{total}=Z_{C1}+Z_{L1C2L2}=\frac{1}{s{C}_1}+s{L}_1+\frac{s{L}_2}{s^2{L}_2{C}_2+1}$$

最后，添加电阻 $R$：
$$Z_{total}=R+Z_{C1}+Z_{L1C2L2}=R+\frac{1}{s{C}_1}+s{L}_1+\frac{s{L}_2}{s^2{L}_2{C}_2+1}$$

转换为传递函数

为了找到传递函数 $\frac{I_1(s)}{V(s)}$，我们需要找到 $I_1(s)$ 与 $V(s)$ 的关系：

$$V(s)=I_1(s)\cdot Z_{total}$$

因此：

$$I_1(s)=\frac{V(s)}{Z_{total}}$$

所以，传递函数为：

$$\frac{I_1(s)}{V(s)}=\frac{1}{R+\frac{1}{s{C}_1}+s{L}_1+\frac{s{L}_2}{s^2{L}_2{C}_2+1}}$$

通过进一步简化这个表达式可以得到最终的传递函数。

为了给电路问题 5.3 建立一组状态方程，我们需要定义状态变量并使用电路中的元件关系和 Kirchhoff 定律来表示这些变量。我们选择电容电压和电感电流作为状态变量，因为它们可以方便地描述电路的动态行为。

定义状态变量

• $x_1=V_{C1}(t)$: 电容 $C_1$ 两端的电压
• $x_2=I_{L1}(t)$: 电感 $L_1$ 的电流
• $x_3=V_{C2}(t)$: 电容 $C_2$ 两端的电压
• $x_4=I_{L2}(t)$: 电感 $L_2$ 的电流

使用 KVL 和 KCL 建立方程

根据电路图，使用 Kirchhoff 电压定律（KVL）和 Kirchhoff 电流定律（KCL）可以得到以下关系：

1. 电容 $C_1$ 的电流方程：
   $$I_{C1}(t)=C_1\frac{d{V}_{C1}(t)}{dt}$$
   $$I_1=I_{C1}+I_R$$
   其中， $I_R=\frac{V-V_{C1}}{R}$

2. 电感 $L_1$ 的电压方程：
   $$V_{L1}(t)=L_1\frac{d{I}_{L1}(t)}{dt}$$
   $$V_{C1}=V_{L1}+V_{C2}$$

3. 电容 $C_2$ 的电流方程：
   $$I_{C2}(t)=C_2\frac{d{V}_{C2}(t)}{dt}$$
   $$I_{L1}=I_{C2}+I_{L2}$$

4. 电感 $L_2$ 的电压方程：
   $$V_{L2}(t)=L_2\frac{d{I}_{L2}(t)}{dt}$$
   $$V_{C2}=V_{L2}$$

状态方程

将这些方程写成状态空间形式：

1. 对于电容 $C_1$ 两端的电压：
   $$\frac{d{x}_1}{dt}=\frac{1}{C_1}(I_1-\frac{x_1}{R})=\frac{1}{C_1}(I_1-I_R)$$

2. 对于电感 $L_1$ 的电流：
   $$\frac{d{x}_2}{dt}=\frac{1}{L_1}(x_1-x_3)$$

3. 对于电容 $C_2$ 两端的电压：
   $$\frac{d{x}_3}{dt}=\frac{1}{C_2}(x_2-x_4)$$

4. 对于电感 $L_2$ 的电流：
   $$\frac{d{x}_4}{dt}=\frac{1}{L_2}(x_3)$$

输入方程

假设输入电压为 $V(s)$，状态方程与输入的关系为：

$$I_1=\frac{V-x_1}{R}$$

最终的状态方程可以表示为：

$$\{\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{dt}=\frac{1}{C_1}\left(\frac{V-x_1}{R}-I_R\right)\\ \frac{d{x}_2}{dt}=\frac{1}{L_1}(x_1-x_3)\\ \frac{d{x}_3}{dt}=\frac{1}{C_2}(x_2-x_4)\\ \frac{d{x}_4}{dt}=\frac{1}{L_2}(x_3)\end{array}$$

这是该电路的状态空间方程组。通过这些方程，可以分析电路的动态响应。

要建立一个电路模型来表示水库的行为，我们需要决定使用哪种元件来模拟输入、水库本身以及变化的用水量。以下是一个可能的电路模型以及各个元件的对应关系：

电路模型元素对应关系

1. 输入流量（泵的稳定流量）：

   • 模拟泵的稳定流量，我们可以使用一个恒流源来表示输入流量，因为恒流源可以提供恒定的电流，就像泵提供恒定的水流量。

2. 水库：

   • 水库的容量可以用一个电容来表示。电容器的电荷积累类似于水库中的水量积累，电容的电压类似于水库中的水位。

3. 用水量（变化的用水量）：

   • 用水量可以用一个电阻来表示。电阻上的电流变化可以表示用水量的变化，电阻值的变化反映了用水速率的变化。

电路模型形式

我们需要一个电流源、一个电容和一个可变电阻来组成电路模型。

1. 恒流源 ($I$) 表示泵的恒定流量。
2. 电容 ($C$) 表示水库的容量，电容上的电压 ($V_C$) 表示水库中的水位。
3. 可变电阻 ($R$) 表示用水量的变化，电阻值变化反映了用水速率的变化。

电路连接

• 恒流源 $I$ 连接到电容 $C$，表示泵向水库输送水。
• 电容 $C$ 连接到可变电阻 $R$，表示水库的水流向社区用水。
• 可变电阻 $R$ 另一端接地，表示水被消耗掉。

电路图示意

  I -----> |----C----R----|
                   |
                  Ground

描述

• 恒流源 $I$：提供恒定的电流（泵的恒定流量）。
• 电容 $C$：存储电荷（表示水库容量），电容电压表示水库水位。
• 可变电阻 $R$：电流表示水的使用，电阻值的变化表示用水量的变化。

这个电路模型可以模拟水库的行为，恒流源提供恒定的流量，电容表示水库中的水量变化，可变电阻表示水的使用变化。通过调整电阻值，可以模拟不同时间段的用水量变化对水库水位的影响。

Chapter 6 Energy conserved transducer

为了证明线性传感器模型中 $T_{EM}$ 和 $T_{ME}$ 的单位是相同的，我们需要了解这两个参数的物理意义和它们的单位。

定义和单位

1. $T_{EM}$ 和 $T_{ME}$ 的定义：

   • $T_{EM}$ 表示电磁耦合系数，通常用于描述电能转换为机械能的过程。
   • $T_{ME}$ 表示机电耦合系数，通常用于描述机械能转换为电能的过程。

2. 单位分析：

   • 假设电气变量为电压 $V$ 和电流 $I$，机械变量为力 $F$ 和速度 $v$（或力矩 $T$ 和角速度 $\omega$）。

电磁转换（$T_{EM}$）

在电磁转换过程中，电能转换为机械能。可以用以下关系表示：
$$P_{elec}=V\cdot I$$
$$P_{mech}=F\cdot v$$

电磁转换耦合系数 $T_{EM}$ 关系为：
$$F=T_{EM}\cdot I$$
其中，$F$ 的单位为牛顿（N），$I$ 的单位为安培（A）。因此，$T_{EM}$ 的单位为：
$$[T_{EM}]=\frac{N}{A}$$

机电转换（$T_{ME}$）

在机电转换过程中，机械能转换为电能。可以用以下关系表示：
$$P_{mech}=F\cdot v$$
$$P_{elec}=V\cdot I$$

机电转换耦合系数 $T_{ME}$ 关系为：
$$V=T_{ME}\cdot v$$
其中，$V$ 的单位为伏特（V），$v$ 的单位为米每秒（m/s）。因此，$T_{ME}$ 的单位为：
$$[T_{ME}]=\frac{V}{\frac{m}{s}}=\frac{V\cdot s}{m}$$

验证单位相同

为了证明 $T_{EM}$ 和 $T_{ME}$ 的单位相同，我们可以使用电磁转换系数的等效表达式来重新定义机电转换系数：

从电磁转换关系式：
$$F=T_{EM}\cdot I$$
力的单位 $F$ 为牛顿（N），电流 $I$ 的单位为安培（A）。因此，$T_{EM}$ 的单位为：
$$[T_{EM}]=\frac{N}{A}$$

根据电功率和机械功率的等效关系：
$$V\cdot I=F\cdot v$$

重新表达机电转换系数的单位：
$$T_{ME}=\frac{V}{v}=\frac{V}{\frac{m}{s}}=\frac{V\cdot s}{m}$$

从电功率的单位分析：
$$1V\cdot 1A=1W(\text{瓦特})$$
而瓦特也等于牛顿·米每秒（$N\cdot m/s$），因此：
$$1V\cdot A=N\cdot \frac{m}{s}$$

所以，$T_{ME}$ 和 $T_{EM}$ 的单位实际上是相同的。即：
$$\frac{N}{A}=\frac{V\cdot s}{m}$$

因此，我们证明了线性传感器模型中 $T_{EM}$ 和 $T_{ME}$ 的单位是相同的。

Chapter 8 Elastisty（Lecture 6）

Problem 1

Derive the bulk modulus (Eq. 8.14) of an isotropic material from the generalized Hooke’s Laws.

Step 1/8
Start with the generalized Hooke’s Law for an isotropic material, which relates the stress tensor (σ) to the strain tensor (ε): σ = C ε where C is the fourth-order elasticity tensor.

Step 2/8
Consider a simple case of isotropic deformation, where the material is subjected to a uniform change in volume. In this case, the strain tensor can be written as: ε = εxx + εyy + εzz where εxx, εyy, and εzz are the normal strains in the x, y, and z directions, respectively.

Step 3/8
Assume that the material is linearly elastic, meaning that the stress-strain relationship is linear. In this case, the stress tensor can be written as: σ = λ ε + 2μ ε where λ and μ are the Lamé parameters, which are related to the bulk modulus (K) and shear modulus (G) of the material as follows: λ = K - 2/3G μ = G

Step 4/8
Substitute the expression for the stress tensor (σ) and the strain tensor (ε) into the generalized Hooke’s Law: λ ε + 2μ ε = C ε

Step 5/8
Simplify the equation by substituting the expressions for λ and μ: (K - 2/3G) ε + 2G ε = C ε

Step 6/8
Combine like terms: (K + 4/3G) ε = C ε

Step 7/8
Equate the coefficients of ε on both sides of the equation: K + 4/3G = C

Answer
Rearrange the equation to solve for the bulk modulus (K): K = C - 4/3G This is the expression for the bulk modulus (K) of an isotropic material derived from the generalized Hooke’s Laws.

Chapter 9 Structure （Lecture 7）

1. 找出一根垂直硅梁在不超过其断裂应力的情况下的最大长度
   
   

Chapter 10 Energy Methods