分治算法(7)_归并排序_计算右侧小于当前元素的个数

news2024/11/19 3:50:44

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分治算法(7)_归并排序_计算右侧小于当前元素的个数

收录于专栏【经典算法练习】
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温馨提示:

1. 题目链接

2. 题目描述

3. 解法

算法思路:

代码展示:

温馨提示:

这一道题的解法与求数组中的逆序对的解法是类似的, 但是这一道题要求的不是求总的个数, 而是要返回一个数组, 记录每一个元素的右边有多少个元素比自己小.所以这里将求逆序对的算法思路并不会详细详解, 如果还不是很了解的宝子们可以先去下面的博客查看:

分治算法(6)_归并排序_交易逆序对的总数-CSDN博客

1. 题目链接

OJ链接 : 计算右侧小于当前元素的个数

2. 题目描述

给你一个整数数组 nums ，按要求返回一个新数组 counts 。数组 counts 有该性质： counts[i] 的值是 nums[i] 右侧小于 nums[i] 的元素的数量。

示例 1：

输入：nums = [5,2,6,1]
输出：[2,1,1,0] 
解释：
5 的右侧有 2 个更小的元素 (2 和 1)
2 的右侧仅有 1 个更小的元素 (1)
6 的右侧有 1 个更小的元素 (1)
1 的右侧有 0 个更小的元素

示例 2：

输入：nums = [-1]
输出：[0]

示例 3：

输入：nums = [-1,-1]
输出：[0,0]

3. 解法

算法思路:

这一道题的解法与求数组中的逆序对的解法是类似的，但是这⼀道题要求的不是求总的个数，而
是要返回一个数组，记录每一个元素的右边有多少个元素比自己小。
但是在我们归并排序的过程中，元素的下标是会跟着变化的，因此我们需要⼀个辅助数组，来将数
组元素和对应的下标绑定在⼀起归并，也就是再归并元素的时候，顺势将下标也转移到对应的位置
上。
由于我们要快速统计出某⼀个元素后面有多少个比它小的，因此我们可以利用求逆序对的第二种方法。

算法流程：

• 创建两个全局的数组：
   vector<int> index：记录下标
   vector<int> ret：记录结果
   index 用来与原数组中对应位置的元素绑定，ret 用来记录每个位置统计出来的逆序对的个数。

• countSmaller() 主函数：
a.计算 nums 数组大小为 n；
b.初始化定义的两个全局的数组；
   i.为两个数组开辟大小为 n 的空间
   ii.index 初始化为数组下标；
   iii.ret 初始化为 0
c.调用 mergeSort() 函数，并且返回 ret 结果数组。

• void mergeSort(vector<int>&nums, int left, int right) 函数：
函数设计：通过修改全局的数组 ret，统计出每⼀个位置对应的逆序对的数量，并且排序；
无需返回值，因为直接对全局变量修改，当函数结束的时候，全局变量已经被修改成最后的结果。

• mergeSort() 函数流程：
a.定义递归出口：left >= right 时，直接返回；
b.划分区间：根据中点 mid，将区间划分为[left, mid] 和[mid + 1, right]；
c.统计左右两个区间逆序对的数量：
   i.统计左边区间[left, mid] 中每个元素对应的逆序对的数量到 ret 数组中，并排序；
   ii.统计右边区间[mid + 1, right] 中每个元素对应的逆序对的数量到 ret 数组中，并排序。
d.合并左右两个有序区间，并且统计出逆序对的数量：
   i.创建两个大小为 right - left + 1 大小的辅助数组：
       • numsTmp： 排序用的辅助数组；
       • indexTmp：处理下标用的辅助数组。
ii.初始化遍历数组的指针：cur1 = left（遍历左半部分数组）cur2 = mid + 1（遍历右半边数
组）dest = 0（遍历辅助数组）curRet（记录合并时产⽣的逆序对的数量）；
iii.循环合并区间：
   • 当 nums[cur1] <= nums[cur2] 时：
       ◦ 说明此时[mid + 1, cur2) 之间的元素都是小于 nums[cur1] 的，需要累加到 ret 数
       组的 indext[cur1] 位置上（因为 index 存储的是元素对应位置在原数组中的下标）
       ◦ 归并排序：不仅要将数据放在对应的位置上，也要将数据对应的坐标也放在对应的位
       置上，使数据与原始的下标绑定在⼀起移动。
   • 当 nums[cur1] > nums[cur2] 时，无需统计，直接归并，注意 index 也要跟着归并。
iv.处理归并排序中剩余的元素；
   • 当左边有剩余的时候，还需要统计逆序对的数量；
   • 当右边还有剩余的时候，无需统计，直接归并。
v.将辅助数组的内容替换到原数组中去;

代码展示:

class Solution 
{
    vector<int> ret;
    vector<int> index;//记录 nums 中当前元素的原始下标
    int tmpnums[100010];
    int tmpindex[100010];

public:
    vector<int> countSmaller(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size();
        ret.resize(n);
        index.resize(n);

        //初始化index数组
        for(int i = 0; i < n; i++)
            index[i] = i;

        mergesort(nums, 0, n - 1);
        return ret;
    }

    void mergesort(vector<int>& nums, int left, int right)
    {
        if(left >= right) return;

        //根据中间元素, 划分区间
        int mid = (left + right) >> 1;
        //[left, mid] [mid + 1, right]

        //2. 先处理左右两部分
        mergesort(nums, left, mid), mergesort(nums, mid + 1, right);

        //3. 处理一左一右的情况
        int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;
        while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
        {
            if(nums[cur1] <= nums[cur2]) 
            {
                tmpnums[i] = nums[cur2];
                tmpindex[i++] = index[cur2++];
            } 
            else
            {
                ret[index[cur1]] += right - cur2 + 1;//重点
                tmpnums[i] = nums[cur1];
                tmpindex[i++] = index[cur1++];
            }
        }
        //处理排序过程
        while(cur1 <= mid) 
        {
            tmpnums[i] = nums[cur1];
            tmpindex[i++] = index[cur1++];
        } 

        while(cur2 <= right) 
        {
            tmpnums[i] = nums[cur2];
            tmpindex[i++] = index[cur2++];
        } 

        for(int j = left; j <= right; j++)
        {
            nums[j] = tmpnums[j - left];
            index[j] = tmpindex[j - left];
        }
    }
};