那些年，我们一起追过的函数：揭秘数学世界里的‘网红’们

在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素（称为自变量或输入）映射到另一个集合中的唯一元素（称为因变量或输出）。根据函数的性质和定义域、值域的不同，可以将函数分为多种类型。下面是一些常见的函数类型：

基本初等函数

常数函数 (Constant Function)
- 形式：f(x)=cf(x)=c，其中 cc 是常数。
- 特点：无论 xx 取什么值，f(x)f(x) 的值都是固定的。
线性函数 (Linear Function)
- 形式：f(x)=ax+bf(x)=ax+b，其中 aa 和 bb 是常数，且 a≠0a=0。
- 特点：图像是一条直线。
二次函数 (Quadratic Function)
- 形式：f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c，其中 a,b,ca,b,c 是常数，且 a≠0a=0。
- 特点：图像是一条抛物线。
幂函数 (Power Function)
- 形式：f(x)=xnf(x)=xn，其中 nn 是实数。
- 特点：当 nn 为正整数时，函数是多项式的一部分；当 nn 为负整数或分数时，函数有其他特性。
指数函数 (Exponential Function)
- 形式：f(x)=axf(x)=ax，其中 a>0a>0 且 a≠1a=1。
- 特点：增长或衰减速度随 xx 增大而加快。
对数函数 (Logarithmic Function)
- 形式：f(x)=log⁡axf(x)=logax，其中 a>0a>0 且 a≠1a=1。
- 特点：是对指数函数的逆运算。
三角函数 (Trigonometric Functions)
- 包括正弦函数 sin⁡(x)sin(x)、余弦函数 cos⁡(x)cos(x)、正切函数 tan⁡(x)tan(x) 等。
- 特点：周期性和振荡性。
反三角函数 (Inverse Trigonometric Functions)
- 包括反正弦函数 arcsin⁡(x)arcsin(x)、反余弦函数 arccos⁡(x)arccos(x)、反正切函数 arctan⁡(x)arctan(x) 等。
- 特点：是三角函数的逆运算。

其他类型的函数

绝对值函数 (Absolute Value Function)
- 形式：f(x)=∣x∣f(x)=∣x∣。
- 特点：图像呈 V 形。
分段函数 (Piecewise Function)
- 定义域被分成若干部分，在每个部分内有不同的表达式。
- 例如：
  
  f(x)={x2if x<02x+1if x≥0f(x)={x22x+1if x<0if x≥0
有理函数 (Rational Function)
- 形式：f(x)=P(x)Q(x)f(x)=Q(x)P(x)，其中 P(x)P(x) 和 Q(x)Q(x) 都是多项式，且 Q(x)≠0Q(x)=0。
- 特点：可能有垂直渐近线、水平渐近线或斜渐近线。
无理函数 (Irrational Function)
- 形式：包含根号或其他非整数次幂的函数。
- 例如：f(x)=xf(x)=x 或 f(x)=x1/3f(x)=x1/3。
复合函数 (Composite Function)
- 如果 y=f(u)y=f(u) 且 u=g(x)u=g(x)，那么 y=f(g(x))y=f(g(x)) 就是一个复合函数。
- 例如：f(x)=sin⁡(x2)f(x)=sin(x2)。
隐函数 (Implicit Function)
- 函数关系由方程给出，而不是显式的 y=f(x)y=f(x) 形式。
- 例如：x2+y2=1x2+y2=1 描述了一个单位圆。

这些函数类型构成了数学分析的基础，并在许多科学和工程领域中有广泛的应用。理解这些函数的性质对于解决实际问题非常关键。

下面我将为每种函数类型提供一个具体的例子，并给出相应的Python代码来绘制这些函数的图形。我们将使用matplotlib库来进行绘图。

首先，确保你已经安装了matplotlib库。如果没有安装，可以通过以下命令安装：

pip install matplotlib

显示的函数图形如下：
![[func.png]]

代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 定义各种函数
def constant_function(x):
    return 3

def linear_function(x):
    return 2 * x + 1

def quadratic_function(x):
    return x**2 - 4 * x + 4

def power_function(x):
    return x**3

def exponential_function(x):
    return 2**x

def logarithmic_function(x):
    return np.log2(x)

def sine_function(x):
    return np.sin(x)

def arcsine_function(x):
    return np.arcsin(x)

def absolute_value_function(x):
    return np.abs(x)

def piecewise_function(x):
    return np.where(x < 0, x**2, 2 * x + 1)

def rational_function(x):
    return 1 / x

def irrational_function(x):
    return np.sqrt(x)

def composite_function(x):
    return np.sin(x**2)

def implicit_function():
    t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
    x = np.cos(t)
    y = np.sin(t)
    return x, y

# 创建图形
x = np.linspace(-10, 10, 400)
x_positive = np.linspace(0.01, 10, 400)  # 对数函数需要正数
x_square = np.linspace(-np.pi, np.pi, 400)  # 复合函数需要更大的范围

plt.figure(figsize=(14, 10))

# 绘制各个函数
plt.subplot(4, 4, 1)
plt.plot(x, [constant_function(xi) for xi in x], label='f(x) = 3')
plt.title('常数函数', fontname='SimHei')
plt.legend(prop={'family': 'SimHei'})
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axis('equal')

plt.subplot(4, 4, 2)
plt.plot(x, [linear_function(xi) for xi in x], label='f(x) = 2x + 1')
plt.title('线性函数', fontname='SimHei')
plt.legend(prop={'family': 'SimHei'})
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axis('equal')

plt.subplot(4, 4, 3)
plt.plot(x, [quadratic_function(xi) for xi in x], label='f(x) = x^2 - 4x + 4')
plt.title('二次函数', fontname='SimHei')
plt.legend(prop={'family': 'SimHei'})
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axis('equal')

plt.subplot(4, 4, 4)
plt.plot(x, [power_function(xi) for xi in x], label='f(x) = x^3')
plt.title('幂函数', fontname='SimHei')
plt.legend(prop={'family': 'SimHei'})
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axis('equal')

plt.subplot(4, 4, 5)
plt.plot(x, [exponential_function(xi) for xi in x], label='f(x) = 2^x')
plt.title('指数函数', fontname='SimHei')
plt.legend(prop={'family': 'SimHei'})
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axis('equal')

plt.subplot(4, 4, 6)
plt.plot(x_positive, [logarithmic_function(xi) for xi in x_positive], label='f(x) = log2(x)')
plt.title('对数函数', fontname='SimHei')
plt.legend(prop={'family': 'SimHei'})
plt.xlim(0, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axis('equal')

plt.subplot(4, 4, 7)
plt.plot(x, [sine_function(xi) for xi in x], label='f(x) = sin(x)')
plt.title('正弦函数', fontname='SimHei')
plt.legend(prop={'family': 'SimHei'})
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axis('equal')

plt.subplot(4, 4, 8)
plt.plot(np.linspace(-1, 1, 400), [arcsine_function(xi) for xi in np.linspace(-1, 1, 400)], label='f(x) = arcsin(x)')
plt.title('反正弦函数', fontname='SimHei')
plt.legend(prop={'family': 'SimHei'})
plt.xlim(-1, 1)
plt.ylim(-10, 10)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axis('equal')

plt.subplot(4, 4, 9)
plt.plot(x, [absolute_value_function(xi) for xi in x], label='f(x) = |x|')
plt.title('绝对值函数', fontname='SimHei')
plt.legend(prop={'family': 'SimHei'})
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axis('equal')

plt.subplot(4, 4, 10)
plt.plot(x, [piecewise_function(xi) for xi in x], label='f(x) = {x^2 if x < 0; 2x + 1 if x >= 0}')
plt.title('分段函数', fontname='SimHei')
plt.legend(prop={'family': 'SimHei'})
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axis('equal')

plt.subplot(4, 4, 11)
plt.plot(x[x != 0], [rational_function(xi) for xi in x if xi != 0], label='f(x) = 1/x')
plt.title('有理函数', fontname='SimHei')
plt.legend(prop={'family': 'SimHei'})
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axis('equal')

plt.subplot(4, 4, 12)
plt.plot(x_positive, [irrational_function(xi) for xi in x_positive], label='f(x) = sqrt(x)')
plt.title('无理函数', fontname='SimHei')
plt.legend(prop={'family': 'SimHei'})
plt.xlim(0, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axis('equal')

plt.subplot(4, 4, 13)
plt.plot(x_square, [composite_function(xi) for xi in x_square], label='f(x) = sin(x^2)')
plt.title('复合函数', fontname='SimHei')
plt.legend(prop={'family': 'SimHei'})
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axis('equal')

plt.subplot(4, 4, 14)
x, y = implicit_function()
plt.plot(x, y, label='x^2 + y^2 = 1')
plt.title('隐函数', fontname='SimHei')
plt.legend(prop={'family': 'SimHei'})
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axis('equal')

plt.tight_layout()
plt.show()