【数据结构与算法】Greedy Algorithm

news2024/12/24 12:36:46

1) 贪心例子

称之为贪心算法或贪婪算法，核心思想是

  1. 将寻找最优解的问题分为若干个步骤
  2. 每一步骤都采用贪心原则，选取当前最优解
  3. 因为没有考虑所有可能，局部最优的堆叠不一定让最终解最优

贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优(即最有利)的选择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。这种算法通常用于求解优化问题，如最小生成树、背包问题等。

贪心算法的应用：

  1. 背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的情况下，尽可能多地装入物品。
  2. 活动选择问题：在一个活动集合中，每次只能参加一个活动，问如何安排时间以最大化所有活动的收益。
  3. 编辑距离问题：给定两个字符串，求它们之间的最小编辑距离(即将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少操作次数)。
  4. 网络流问题：给定一张有向图和一些起点和终点，求最大流量。
  5. 找零问题：给定一定数量的硬币和需要找零的金额，求使用最少的硬币数。

常见问题及解答：

  1. 贪心算法一定会找到最优解吗？
    答：不一定。贪心算法只保证在每一步选择中都是最优的，但并不能保证整个问题的最优解。例如，背包问题中的贪心算法可能会导致最后一个物品没有被装入背包。
  2. 如何判断一个问题是否适合用贪心算法解决？
    答：一个问题如果可以用递归的方式分解成若干个子问题，且每个子问题都有明确的最优解(即局部最优),那么这个问题就可以用贪心算法解决。
  3. 贪心算法的时间复杂度是多少？
    答：贪心算法的时间复杂度取决于问题的规模和具体实现。一般来说，对于规模较小的问题，贪心算法的时间复杂度可以达到O(nlogn)或O(n2);对于规模较大的问题，可能需要O(n3)或更高。

几个贪心的例子

Dijkstra
// ...
while (!list.isEmpty()) {
    // 选取当前【距离最小】的顶点
    Vertex curr = chooseMinDistVertex(list);
    // 更新当前顶点邻居距离
    updateNeighboursDist(curr);
    // 移除当前顶点
    list.remove(curr);
    // 标记当前顶点已经处理过
    curr.visited = true;
}
  • 没找到最短路径的例子：负边存在时，可能得不到正确解
  • 问题出在贪心的原则会认为本次已经找到了该顶点的最短路径，下次不会再处理它（curr.visited = true）
  • 与之对比，Bellman-Ford 并没有考虑局部距离最小的顶点，而是每次都处理所有边，所以不会出错，当然效率不如 Dijkstra
Prim
// ...
while (!list.isEmpty()) {
    // 选取当前【距离最小】的顶点
    Vertex curr = chooseMinDistVertex(list);
    // 更新当前顶点邻居距离
    updateNeighboursDist(curr);
    // 移除当前顶点
    list.remove(curr);
    // 标记当前顶点已经处理过
    curr.visited = true;
}
Kruskal
// ...
while (list.size() < size - 1) {
    // 选取当前【距离最短】的边
    Edge poll = queue.poll();
    // 判断两个集合是否相交
    int i = set.find(poll.start);
    int j = set.find(poll.end);
    if (i != j) { // 未相交
        list.add(poll);
        set.union(i, j); // 相交
    }
}

其它贪心的例子

  • 选择排序、堆排序

  • 拓扑排序

  • 并查集合中的 union by size 和 union by height

  • 哈夫曼编码

  • 钱币找零，英文搜索关键字

    • change-making problem
    • find Minimum number of Coins

  • 任务编排

  • 求复杂问题的近似解

2) 零钱兑换问题

有几个解（零钱兑换 II）Leetcode 518
public class Leetcode518 {
    public int change(int[] coins, int amount) {
        return rec(0, coins, amount, new LinkedList<>(), true);
    }

    /**
     * 求凑成剩余金额的解的个数
     *
     * @param index     当前硬币索引
     * @param coins     硬币面值数组
     * @param remainder 剩余金额
     * @param stack     -
     * @param first     -
     * @return 解的个数
     */
    public int rec(int index, int[] coins, int remainder, LinkedList<Integer> stack, boolean first) {
        if(!first) {
            stack.push(coins[index]);
        }
        // 情况1：剩余金额 < 0 - 无解
        int count = 0;
        if (remainder < 0) {
            print("无解：", stack);
        }
        // 情况2：剩余金额 == 0 - 有解
        else if (remainder == 0) {
            print("有解：", stack);
            count = 1;
        }
        // 情况3：剩余金额 > 0 - 继续递归
        else {
            for (int i = index; i < coins.length; i++) {
                count += rec(i, coins, remainder - coins[i], stack, false);
            }
        }
        if (!stack.isEmpty()) {
            stack.pop();
        }
        return count;
    }

    private static void print(String prompt, LinkedList<Integer> stack) {
        ArrayList<Integer> print = new ArrayList<>();
        ListIterator<Integer> iterator = stack.listIterator(stack.size());
        while (iterator.hasPrevious()) {
            print.add(iterator.previous());
        }
        System.out.println(prompt + print);
    }

    public static void main(String[] args) {
        Leetcode518 leetcode = new Leetcode518();
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{1, 5, 10, 25}, 41);
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{25, 10, 5, 1}, 41);
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{5, 2, 1}, 5);
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{1, 2, 5}, 5);
        int count = leetcode.change(new int[]{15, 10, 1}, 21);
        System.out.println(count);
    }

}
最优解（零钱兑换）- 穷举法 Leetcode 322
public class Leetcode322 {
    static int min = -1; // 需要的最少硬币数  2 3

    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        rec(0, coins, amount, new AtomicInteger(-1), new LinkedList<>(), true);
        return min;
    }

    // count 代表某一组合 钱币的总数
    public void rec(int index, int[] coins, int remainder, AtomicInteger count, LinkedList<Integer> stack, boolean first) {
        if (!first) {
            stack.push(coins[index]);
        }
        count.incrementAndGet(); // count++
        if (remainder == 0) {
            System.out.println(stack);
            if (min == -1) {
                min = count.get();
            } else {
                min = Integer.min(min, count.get());
            }
        } else if (remainder > 0) {
            for (int i = index; i < coins.length; i++) {
                rec(i, coins, remainder - coins[i], count, stack, false);
            }
        }
        count.decrementAndGet(); // count--
        if (!stack.isEmpty()) {
            stack.pop();
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Leetcode322 leetcode = new Leetcode322();
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{5, 2, 1}, 5);
        int count = leetcode.coinChange(new int[]{25, 10, 5, 1}, 41);
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{2}, 3);
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{15, 10, 1}, 21);
        System.out.println(count);
    }
}
最优解（零钱兑换）- 贪心法 Leetcode 322
public class Leetcode322 {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int remainder = amount;
        int count = 0;
        for (int coin : coins) {
            while (remainder - coin > 0) {
                remainder -= coin;
                count++;
            }
            if (remainder - coin == 0) {
                remainder = 0;
                count++;
                break;
            }
        }
        if (remainder > 0) {
            return -1;
        } else {
            return count;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Leetcode322 leetcode = new Leetcode322();
        int count = leetcode.coinChange(new int[]{5, 2, 1}, 5);
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{25, 10, 5, 1}, 41);
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{2}, 3);
        
        // 问题1 没有回头，导致找到更差的解
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{15, 10, 1}, 21);  
        // 问题2 没有回头，导致无解
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{15, 10}, 20);  
        System.out.println(count);
    }
}

3) Huffman 编码问题

问题引入

什么是编码？

简单说就是建立【字符】到【数字】的对应关系，如下面大家熟知的 ASC II 编码表，例如，可以查表得知字符【a】对应的数字是十六进制数【0x61】

\000102030405060708090a0b0c0d0e0f
0000000102030405060708090a0b0c0d0e0f
0010101112131415161718191a1b1c1d1e1f
002020!"#$%&’()*+,-./
00300123456789:;<=>?
0040@ABCDEFGHIJKLMNO
0050PQRSTUVWXYZ[\]^_
0060`abcdefghijklmno
0070pqrstuvwxyz{|}~7f

注：一些直接以十六进制数字标识的是那些不可打印字符

传输时的编码

  • java 中每个 char 对应的数字会占用固定长度 2 个字节
  • 如果在传输中仍采用上述规则，传递 abbccccccc 这 10 个字符
    • 实际的字节为 0061006200620063006300630063006300630063（16进制表示）
    • 总共 20 个字节，不经济

现在希望找到一种最节省字节的传输方式，怎么办？

假设传输的字符中只包含 a，b，c 这 3 个字符，有同学重新设计一张二进制编码表，见下图

  • 0 表示 a
  • 1 表示 b
  • 10 表示 c

现在还是传递 abbccccccc 这 10 个字符

  • 实际的字节为 01110101010101010 （二进制表示）
  • 总共需要 17 bits，也就是 2 个字节多一点，行不行？

不行，因为解码会出现问题，因为 10 会被错误的解码成 ba，而不是 c

  • 解码后结果为 abbbababababababa，是错误的

怎么解决？必须保证编码后的二进制数字，要能区分它们的前缀（prefix-free）

用满二叉树结构编码，可以确保前缀不重复

在这里插入图片描述

  • 向左走 0，向右走 1
  • 走到叶子字符，累计起来的 0 和 1 就是该字符的二进制编码

再来试一遍

  • a 的编码 0
  • b 的编码 10
  • c 的编码 11

现在还是传递 abbccccccc 这 10 个字符

  • 实际的字节为 0101011111111111111（二进制表示）
  • 总共需要 19 bits，也是 2 个字节多一点，并且解码没有问题了，行不行？

这回解码没问题了，但并非最少字节，因为 c 的出现频率高（7 次）a 的出现频率低（1 次），因此出现频率高的字符编码成短数字更经济

考察下面的树

在这里插入图片描述

  • 00 表示 a
  • 01 表示 b
  • 1 表示 c

现在还是传递 abbccccccc 这 10 个字符

  • 实际的字节为 000101 1111111 （二进制表示）
  • 总共需要 13 bits，这棵树就称之为 Huffman 树
  • 根据 Huffman 树对字符和数字进行编解码，就是 Huffman 编解码
Huffman 树
public class HuffmanTree {

    /*
        Huffman 树的构建过程

        1. 将统计了出现频率的字符，放入优先级队列

        2. 每次出队两个频次最低的元素，给它俩找个爹
        3. 把爹重新放入队列，重复 2~3
        4. 当队列只剩一个元素时，Huffman 树构建完成
     */

    static class Node {
        Character ch; // 字符
        int freq;     // 频次
        Node left;
        Node right;
        String code;  // 编码

        public Node(Character ch) {
            this.ch = ch;
        }

        public Node(int freq, Node left, Node right) {
            this.freq = freq;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }

        int freq() {
            return freq;
        }

        boolean isLeaf() {
            return left == null;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return "Node{" +
                    "ch=" + ch +
                    ", freq=" + freq +
                    '}';
        }
    }

    String str;
    Map<Character, Node> map = new HashMap<>();

    public HuffmanTree(String str) {
        this.str = str;
        // 功能1：统计频率
        char[] chars = str.toCharArray();
        for (char c : chars) {
            /*if (!map.containsKey(c)) {
                map.put(c, new Node(c));
            }
            Node node = map.get(c);
            node.freq++;*/
            Node node = map.computeIfAbsent(c, Node::new);
            node.freq++;
        }
        // 功能2: 构造树
        PriorityQueue<Node> queue = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt(Node::freq));
        queue.addAll(map.values());
        while (queue.size() >= 2) {
            Node x = queue.poll();
            Node y = queue.poll();
            int freq = x.freq + y.freq;
            queue.offer(new Node(freq, x, y));
        }
        Node root = queue.poll();
        // 功能3：计算每个字符的编码, 功能4：字符串编码后占用 bits
        int sum = dfs(root, new StringBuilder());
        for (Node node : map.values()) {
            System.out.println(node + " " + node.code);
        }
        System.out.println("总共会占用 bits:" + sum);
    }

    private int dfs(Node node, StringBuilder code) {
        int sum = 0;
        if (node.isLeaf()) {
            node.code = code.toString();
            sum = node.freq * code.length();
        } else {
            sum += dfs(node.left, code.append("0"));
            sum += dfs(node.right, code.append("1"));
        }
        if (code.length() > 0) {
            code.deleteCharAt(code.length() - 1);
        }
        return sum;
    }

    public static void main(String[] args) {
        new HuffmanTree("abbccccccc");
    }
}

注意

  • Node::new 是一个 Function，根据 key（即字符）生成 Node 对象
  • 对应的是 public Node(Character ch) 有参构造
Huffman 编解码

补充两个方法，注意为了简单期间用了编解码都用字符串演示，实际应该按 bits 编解码

public class HuffmanTree {
    // ...
    
    // 编码
    public String encode() {
        char[] chars = str.toCharArray();
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        for (char c : chars) {
            sb.append(map.get(c).code);
        }
        return sb.toString();
    }

    // 解码
    public String decode(String str) {
        /*
            从根节点，寻找数字对应的字符
                数字是 0 向左走
                数字是 1 向右走
                如果没走到头，每走一步数字的索引 i++
            走到头就可以找到解码字符，再将 node 重置为根节点
         */
        char[] chars = str.toCharArray();
        int i = 0;
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        Node node = root;
        while (i < chars.length) {
            if (!node.isLeaf()) { // 非叶子
                if(chars[i] == '0') { // 向左走
                    node = node.left;
                } else if(chars[i] == '1') { // 向右走
                    node = node.right;
                }
                i++;
            }
            if (node.isLeaf()) {
                sb.append(node.ch);
                node = root;
            }
        }
        return sb.toString();
    }
    
    @SuppressWarnings("all")
    public static void main(String[] args) {
        HuffmanTree tree = new HuffmanTree("abbccccccc");
        String encoded = tree.encode();
        System.out.println(encoded);
        System.out.println(tree.decode(encoded));
    }
}

注意

  • 循环中非叶子节点 i 要自增，但叶子节点 i 暂不自增
  • 第一个非叶子的 if 判断结束后，仍需要第二个叶子的 if 判断，因为在第一个 if 内 node 发生了变化
相关题目
题目编号题目标题算法思路
1167（Plus 题目）连接棒材的最低费用Huffman 树、贪心

参考解答

/**
 * <h3>连接棒材的最低费用</h3>
 * <p>为了装修新房，你需要加工一些长度为正整数的棒材。如果要将长度分别为 X 和 Y 的两根棒材连接在一起，你需要支付 X + Y 的费用。 返回讲所有棒材连成一根所需要的最低费用。</p>
 */
public class Leetcode1167 {
    /*
        举例 棒材为 [1,8,3,5]

        如果以如下顺序连接(非最优)
        - 1+8=9
        - 9+3=12
        - 12+5=17
        总费用为 9+12+17=38

        如果以如下顺序连接(最优)
        - 1+3=4
        - 4+5=9
        - 8+9=17
        总费用为 4+9+17=30
     */
    int connectSticks(int[] sticks) {
        PriorityQueue<Integer> queue = new PriorityQueue<>();
        for (int stick : sticks) {
            queue.offer(stick);
        }

        int sum = 0;
        while (queue.size() >= 2) {
            Integer x = queue.poll();
            Integer y = queue.poll();
            int c = x + y;
            sum += c;
            queue.offer(c);
        }
        return sum;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Leetcode1167 leetcode = new Leetcode1167();
        System.out.println(leetcode.connectSticks(new int[]{1, 8, 3, 5})); // 30
        System.out.println(leetcode.connectSticks(new int[]{2, 4, 3})); // 14
    }
}

4) 活动选择问题

public class ActivitySelectionProblem {

    /*
        要在一个会议室举办 n 个活动
        - 每个活动有它们各自的起始和结束时间
        - 找出在时间上互不冲突的活动组合，能够最充分利用会议室（举办的活动次数最多）

        例1
            0   1   2   3   4   5   6   7   8   9
                |-------)
                    |-------)
                        |-------)
        例2
            0   1   2   3   4   5   6   7   8   9
                |---)
                        |---)
            |-----------------------)
                                |-------)
                                            |---)
                                |---------------)





        几种贪心策略
        1. 优先选择持续时间最短的活动
            0   1   2   3   4   5   6   7   8   9
                |---------------)
                            |-------)
                                |---------------)

        2. 优先选择冲突最少的活动
            0   1   2   3   4   5   6   7   8   9
            |-------)                                       3
                |-------)                                   4
                |-------)                                   4
                |-------)                                   4
                    |-------)                               4
                        |-------)                           2
                            |-----------)                   4
                                    |-------)               4
                                    |-------)               4
                                    |-------)               4
                                        |-------)           3

        3. 优先选择最先开始的活动
            0   1   2   3   4   5   6   7   8   9
            |-----------------------------------)
                |---)
                    |---)
                        |---)

        4. 优先选择最后结束的活动
     */

    static class Activity {
        int index;
        int start;
        int finish;

        public Activity(int index, int start, int finish) {
            this.index = index;
            this.start = start;
            this.finish = finish;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return "Activity(" + index + ")";
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Activity[] activities = new Activity[]{
                new Activity(0, 1, 3),
                new Activity(1, 2, 4),
                new Activity(2, 3, 5)
        };
//        Activity[] activities = new Activity[]{
//                new Activity(0, 1, 2),
//                new Activity(1, 3, 4),
//                new Activity(2, 0, 6),
//                new Activity(3, 5, 7),
//                new Activity(4, 8, 9),
//                new Activity(5, 5, 9)
//        };
        select(activities, activities.length);
    }

    public static void select(Activity[] activities, int n) {
        List<Activity> result = new ArrayList<>();
        int i, j;
        i = 0;
        result.add(activities[i]);
        for (j = 1; j < n; j++) {
            if (activities[j].start >= activities[i].finish) {
                result.add(activities[j]);
                i = j;
            }
        }
        System.out.println(result);
    }
}
无重叠区间-Leetcode 435
题目编号题目标题算法思路
435无重叠区间贪心

参考解答

// 下面代码为 Leetcode 435 题解
public int eraseOverlapIntervals(int[][] intervals) {
    Arrays.sort(intervals, Comparator.comparingInt(a -> a[1]));
    int i, j;
    i = 0;
    int count = 1;
    for (j = 1; j < intervals.length; j++) {
        if (intervals[j][0] >= intervals[i][1]) {
            i = j;
            count++;
        }
    }
    return intervals.length - count;
}
  • 找到不重叠的最多的活动数（count），即活动选择问题原始需求
  • 在此基础上，活动总数 - count，就是题目要的排除数量

5) 分数背包问题

贪心法
public class FractionalKnapsackProblem {

    /*
    1. n个物品都是液体，有重量和价值
    2. 现在你要取走 10升 的液体
    3. 每次可以不拿，全拿，或拿一部分，问最高价值是多少

        编号 重量(升) 价值
        0   4       24      水
        1   8       160     牛奶       选中 7/8
        2   2       4000    五粮液     选中
        3   6       108     可乐
        4   1       4000    茅台       选中

        8140

        简化起见，给出的数据都是【价值/重量】能够整除，避免计算结果中出现小数，增加心算难度
     */

    static class Item {
        int index;
        int weight;
        int value;

        public Item(int index, int weight, int value) {
            this.index = index;
            this.weight = weight;
            this.value = value;
        }

        int unitPrice() {
            return value / weight;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return "Item(" + index + ")";
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Item[] items = new Item[]{
                new Item(0, 4, 24),
                new Item(1, 8, 160),
                new Item(2, 2, 4000),
                new Item(3, 6, 108),
                new Item(4, 1, 4000),
        };
        select(items, 10);
    }

    static void select(Item[] items, int total) {
        Arrays.sort(items, Comparator.comparingInt(Item::unitPrice).reversed());
        int remainder = total;
        int max = 0;
        for (Item item : items) {
            if (remainder - item.weight > 0) {
                max += item.value;
                remainder -= item.weight;
            } else {
                max += remainder * item.unitPrice();
                break;
            }
        }
        System.out.println("最高价值为：" + max);
    }


}

6) 0-1 背包问题

贪心法

可能得不到最优解

public class KnapsackProblem {
    /*
    1. n个物品都是固体，有重量和价值
    2. 现在你要取走不超过 10克 的物品
    3. 每次可以不拿或全拿，问最高价值是多少

        编号 重量(g)  价值(元)
        0   1       1_000_000      钻戒一枚
        1   4       1600           黄金一块
        2   8       2400           红宝石戒指一枚
        3   5       30             白银一块

     */

    static class Item {
        int index;
        int weight;
        int value;

        public Item(int index, int weight, int value) {
            this.index = index;
            this.weight = weight;
            this.value = value;
        }

        public int unitValue() {
            return value / weight;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return "Item(" + index + ")";
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Item[] items = new Item[]{
                new Item(0, 1, 1_000_000),
                new Item(1, 4, 1600),
                new Item(2, 8, 2400),
                new Item(3, 5, 30)
        };
        select(items, 10);
    }

    static void select(Item[] items, int total) {
        Arrays.sort(items, Comparator.comparingInt(Item::unitValue).reversed());
        int max = 0; // 最大价值
        for (Item item : items) {
            System.out.println(item);
            if (total >= item.weight) { // 可以拿完
                total -= item.weight;
                max += item.value;
            } else { // 拿不完
//                max += total * item.unitValue();
//                break;
            }
        }
        System.out.println("最大价值是:" + max);
    }
}

贪心算法的局限

问题名称是否能用贪心得到最优解替换解法
Dijkstra(不存在负边)✔️
Dijkstra(存在负边)❌Bellman-Ford
Prim✔️
Kruskal✔️
零钱兑换❌动态规划
Huffman 树✔️
活动选择问题✔️
分数背包问题✔️
0-1 背包问题❌动态规划

7) Set cover problem

集合覆盖问题

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