平衡BST：AVL树的实现与机制

AVL树的简介

AVL节点的构建

AVL树体的构建

具体片段解析

旋转算法

AVL树的验证

AVL树的简介

AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它在19世纪60年代由Adelson-Velsky和Landis首次提出。在AVL树中，任何节点的两个子树的高度最大差别为1，这种平衡确保了树的操作（如插入、删除和查找）的时间复杂度为O(log n)。下面是AVL树在C++中的基本概念：

基本概念：

节点：AVL树的每个节点包含关键值、指向左右子树的指针以及一个表示该节点高度或平衡因子的值。
平衡因子：节点左右子树的高度差。在AVL树中，每个节点的平衡因子只能是-1、0或1。
旋转：为了维护树的平衡，AVL树在插入或删除节点后可能会进行旋转。旋转分为四种类型：右旋、左旋、左右旋和右左旋。

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查

找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii

和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树

左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在LogN，时间复杂度也是LogN

因此AVL树的构建是十分繁琐的，但是效率及其高效。

AVL节点的构建

我们构建一个K/V结构的AVL树，用来存储键值对。

由于牵扯到树形的连接，因此我们采用三叉链的形式，内部存储三个指针

同时_bf（binary factor）平衡因子用来检测树书否符规范


template<typename K, typename V>
struct AVLTreeNode {
	//三叉连锁树的节点结构
	AVLTreeNode* _left;		//C++将struct之后的部分升级成了类名，可以直接用来创建对象
	AVLTreeNode* _right;
	AVLTreeNode* _parent;

	pair<K, V> _kv;
	int _bf;		//平衡因子，左子树的高度减去右子树的高度  balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		: _left(nullptr),
		_right(nullptr),
		_parent(nullptr),
		_kv(kv),	//调用默认构造函数，初始化_kv
		_bf(0)
	{}
};

AVL树体的构建

成员变量只需要一个树根

Node* _root;

AVL树体重点是插入的实现

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么

AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

2. 调整节点的平衡因子

插入具体分为三部分： //1.插入 2.连接 3.调整

	bool insert(const pair<K, V>& kv)
	{

		if (_root == nullptr) {
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		
		while (cur)
		{
			if (kv.first < cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (kv.first > cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		//cur为空，说明找到了插入位置
		
		cur = new Node(kv);
		if (kv.first < parent->_kv.first)
		{
			parent->_left = cur;	//连接
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		//调整（针对平衡因子）

		while (parent)	//向上调整
		{
			if (cur == parent->_left)
				parent->_bf--;
			else
				parent->_bf++;

			if (parent->_bf == 0)
				break;		//平衡
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)		//需要向上检查
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_right->_bf == -2)	//调整（插入之前不可能为2或者-2，出现这样的结果为第一次向上调整之后）
			{

				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
					RotateL(parent);
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
					RotateR(parent);
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
					RotateRL(parent);
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
					RotateLR(parent);

				// 1、旋转让这颗子树平衡了
				// 2、旋转降低了这颗子树的高度，恢复到跟插入前一样的高度，所以对上一层没有影响，不用继续更新
				break;
			}

			else
				assert(false);
		}

	}

具体片段解析

1.空树直接插入


		if (_root == nullptr) {
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

2.寻找合适的位置插入（找到空位置）

while (cur)
{
	if (kv.first < cur->_kv.first)
	{
		parent = cur;
		cur = cur->_left;
	}
	else if (kv.first > cur->_kv.first)
	{
		parent = cur;
		cur = cur->_right;
	}
	else
	{
		return false;
	}
}

3.插入后进行连接

if (kv.first < parent->_kv.first)
{
	parent->_left = cur;	//连接
	cur->_parent = parent;
}
else
{
	parent->_right = cur;
	cur->_parent = parent;
}

4.进行平衡因子的调整（重难点）

4.1根据插入的位置，插入左树，_bf--，否则++

	if (cur == parent->_left)
		parent->_bf--;
	else
		parent->_bf++;

4.2平衡因子发生变化之后，进行调整

若插入之后，abs(_bf) == 1，那说明该树处于临界状态，此时需要向上检查

若abs(_bf) == 2,说明插入之后，树已经失衡，需要进行旋转调整

同时，旋转之后，不仅完成了树的平衡，还使得高度--，树变成了平衡状态

此时abs（parent->_bf) == 2,abs(cur->_bf) == 1，所以四种情况

if (parent->_bf == 0)
	break;		//平衡
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)		//需要向上检查
{
	cur = parent;
	parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_right->_bf == -2)	//调整（插入之前不可能为2或者-2，出现这样的结果为第一次向上调整之后）
{

	if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
		RotateL(parent);
	else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
		RotateR(parent);
	else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
		RotateRL(parent);
	else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
		RotateLR(parent);

	// 1、旋转让这颗子树平衡了
	// 2、旋转降低了这颗子树的高度，恢复到跟插入前一样的高度，所以对上一层没有影响，不用继续更新
	break;
}

else
	assert(false);

旋转算法

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，

使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

核心就是对SubL 和SubRL（注意是否为空）这两个节点的处理。

同时需要注意parent是不是根节点

上图在插入前， AVL 树是平衡的，新节点插入到 30 的左子树 ( 注意：此处不是左孩子 ) 中， 30 左

子树增加

了一层，导致以 60 为根的二叉树不平衡，要让 60 平衡，只能将 60 左子树的高度减少一层，右子

树增加一层，

即将左子树往上提，这样 60 转下来，因为 60 比 30 大，只能将其放在 30 的右子树，而如果 30 有

右子树，右子树根的值一定大于 30 ，小于 60 ，只能将其放在 60 的左子树，旋转完成后，更新节点

的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1. 30 节点的右孩子可能存在，也可能不存在

2. 60 可能是根节点，也可能是子树

如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点

如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

//1旋转 2调整bf

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* SubL = parent->_left;			//最关键的两个节点
		Node* SubLR = SubL->_right;

		//连接
		parent->_left = SubLR;
		SubL->_right = parent;

		//处理剩余关系线
		parent->_parent = SubL;

		if (SubLR)    //如果subLR为空，那么parent->right一定为空
			SubLR->_parent = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;

		if (_root == parent)	    //有可能parent是根节点，也有可能不是根节点
		{
			_root = SubL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else  //不是根节点
		{
			if (parent == parentParent->_left)	 //判断是左子树还是右子树
			{
				parentParent->_left = SubL;
				subL->_parent = parentParent;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = SubL;
				subL->_parent = parentParent;
			}
		}

		subL->_bf = 0;	
		parent->_bf = 0;  //如果subLR为空，那么parent->right一定为空，最终的_bf一定都是空
	}

2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;

		//连接
		parent->_right = SubRL;
		SubR->_left = parent;

		//处理剩余关系线

		parent->_parent = SubR;

		if (SubRL)		//如果subRL为空，那么parent->left一定为空
			SubRL->_parent = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;

		if (_root == parent)		//有可能parent是根节点，也有可能不是根节点
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == parentParent->_left)	//判断是左子树还是右子树
			{
				parentParent->_left = SubR;
				subR->_parent = parentParent;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = SubR;
				subR->_parent = parentParent;
			}
		}

		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;	//如果subRL为空，那么parent->left一定为空，最终的_bf一定都是空
	
	}

3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再

考虑平衡因子的更新。

需要考虑的是，插入之后_bf的调整。

同时每次插入都需要考虑新插入的节点是不是空节点

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;  //可能为空
		int bf = SubLR->_bf;         //可能为0(如果为0，说明SubLR为空）

		RotateL(SubL);
		RotateR(parent);

		if (bf == 0)
		{
			//说明SubLR就是新增
			parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			//说明SubLR是新增的右子树
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			//说明SubLR是新增的左子树
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;  //可能为空
		int bf = SubRL->_bf;         //可能为0(如果为0，说明SubRL为空）

		RotateR(SubR);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			//说明SubRL就是新增
			parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			//说明SubRL是新增的右子树
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			//说明SubRL是新增的左子树
			parent->_bf = 1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}

	}

总结：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR

当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋

当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL

当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋

当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树

每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)

节点的平衡因子是否计算正确

采用了双重保险：1.检测右-左是否为_bf 2.检测abs(_bf)是否为<2

在高度求解时，采用了递归算法。求左子树高度（求子树高度不能 + 1），再求右子树高度。总高度 = max（左子树，右子树） + 1 （在algorithm算法库中）

int _Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;

	int leftHeight = _Height(root->_left);	//求的是子树的高度，不包括自身，不能加1
	int rightHeight = _Height(root->_right);

	return max(leftHeight, rightHeight) + 1;
}

bool _IsBalanced(Node* node)	//进行遍历
{
	if (node == nullptr)
		return true;

	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);

	if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
	{
		cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
		return false;
	}

	return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
		&& _IsBalance(root->_left)
		&& _IsBalance(root->_right);
}