周期信号的傅里叶级数表示

news2024/10/3 17:07:12

一、特征函数：

一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数乘以输入，则为特征函数，幅度因子称为系统的特征值。

复指数 $e^{st}$ 是线性时不变系统的特征函数

复指数序列 $z^{n}$ 是离散时间线性时不变系统的特征函数

二、连续时间周期信号的傅里叶级数表示

成谐波关系的复指数信号的线性组合

成谐波关系的复指数信号集： $\phi _{k}\left ( e^{jk\omega _{0}t} \right )$

傅里叶级数： $x\left ( t \right )=\sum_{k=-\infty }^{\infty }a_{k}e^{jk\omega _{0}t}$

$a_{k}=\frac{1}{T}\int _{T}x\left ( t \right )e^{-jk\omega _{0}t}dt$

$x\left ( t \right )$ 傅里叶数级系数/ $x\left ( t \right )$ 的频谱系数： $\left \{ a_{k} \right \}$

三、傅里叶级数收敛

可以用傅里叶级数表示的周期信号：在一个周期内能量有限的信号

另一种信号：（1）在任何周期内， $x\left ( t \right )$ 必须绝对可积。（2）在任意有限区间内， $x\left ( t \right )$ 具有有限个起伏变化（3）在任何有限区间内，只有有限个不连续点，且不连续点处函数值有限

四、连续时间傅里叶级数性质

线性性质： $z\left ( t \right )=Ax\left ( t \right )+Bx\left ( t \right )\leftrightarrow c_{k}=Aa_{k}+Bb_{k}$

时移性质： $x\left ( t-t_{0} \right )\leftrightarrow e^{-jk\omega _{0}t_{0}}a_{k}$

时间反转： $x\left ( -t \right )\leftrightarrow a_{-k}$

时域尺度变换：傅里叶系数抑制，基波频率变化

相乘： $x\left ( t \right )y\left ( t \right )\leftrightarrow h_{k}=\sum_{l=-\infty }^{\infty }a_{l}b_{k-l}$ ， $x\left ( t \right )$ 和 $y\left ( t \right )$ 同周期

共轭及共轭对称： $x^{*}\left ( t \right )\leftrightarrow a_{-k}^{*}$ ，当 $x\left ( t \right )$ 为实函数，其傅里叶系数为共轭对称

帕斯瓦尔定理：一个周期信号的总平均功率等于其全部谐波分量的平均功率之和

五、离散时间周期信号的傅里叶级数表示

（1）成谐波关系的复指数信号的线性组合： $\phi _{k}\left [ n \right ]=e^{jk\omega _{0}n}$ ，基波频率 $\omega _{0}=2\pi /N$

离散时间傅里叶级数： $x\left [ n \right ]=\sum _{k=\left \langle N \right \rangle}a_{k}e^{jk\omega _{0}n}$ ， $a_{k}$ 为傅里叶级数系数

（2）周期信号傅里叶级数表示的确定： $a_{k}=\frac{1}{N}\sum _{n=\left \langle N \right \rangle}x\left [ n \right ]e^{-jk\omega _{0}n}$ ， $a_{k}$ 为 $x\left [ n \right ]$ 频谱系数，是一个N项有限级数

（3）若 $x\left [ n \right ]$ 为实序列，则 $a_{-k}=a_{k}^{*}$

六、离散时间傅里叶级数性质

大部分与连续时间情况相同，以下讨论不同情况

（1）相乘： $x\left [ n \right ]y\left [ n \right ]\leftrightarrow d_{k}=\sum _{l=\left \langle N \right \rangle}a_{l}b_{k-l}$ ，求和变量限制在N个连续的样本区间

（2）一次差分： $x\left [ n \right ]-x\left [ n-1 \right ]\leftrightarrow \left ( 1-e^{-jk\left ( 2\pi /N \right )} \right )a_{k}$

（3）离散时间周期信号帕斯瓦尔定理：一个周期信号的平均功率等于他的所有谐波分量的平均功率之和，求和可在任何k的N个相继值进行。

七、傅里叶级数与线性时不变系统

对于 $x\left ( t \right )=\sum_{k=-\infty }^{\infty }a_{k}e^{jk\omega _{0}t}$ ，系统输出为 $y\left ( t \right )=\sum_{-\infty }^{\infty }a_{k}H\left ( jk\omega _{0} \right )e^{jk\omega _{0}t}$ ，因此线性时不系统的作用为乘以相应频率点上的频率响应值来逐个改变输入信号的每一个傅里叶系数。

对于离散时间情况： $x\left [ n \right ]=\sum _{k=\left \langle N \right \rangle}a_{k}e^{jk\left ( 2\pi /N \right )n}$ ，输出 $y\left [ n \right ]=\sum _{k=\left \langle N \right \rangle}a_{k}H\left ( e^{j2\pi k/N} \right )e^{jk\left ( 2\pi /N \right )n}$