高斯消元能在$O(n^3)$的时间复杂度内求解n个方程，n个未知数的多元线性方程组，即
$$\begin{gathered} a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1 \\ {a}_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2 \\ \dots \\ {a}_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+a_{n3}{x}_3+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n \end{gathered}$$
对增广矩阵做初等行变换，变成一个行最简阶梯型矩阵（线性代数）

• 对某一行（列）乘以一个非零的数；
• 交换两行（列）；
• 将一行（列）的若干倍加到另一行（列）

解的情况有三种

• 无解，系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩
• 有无穷多解，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于n
• 有唯一解，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于n

高斯消元法步骤：
从列开始，循环枚举处理每一列

• 找到该列绝对值最大的一行，如果最大的绝对值为0，说明当前列已经化简好了，此重循环跳出进行下一列处理；
• 将这一行换到最上面；
• 将该行第一个数变为1；
• 用当前行将下面所有行的当前列消成0；
• 固定该行，处理下一行，处理的行数r++

AcWing883. 高斯消元解线性方程组

注意：

• 本题采用fabs即浮点绝对值来取绝对值，在判断是否为0时，应为小于一个足够小的数即为0；
• 用每一行的最后一列存储解的值。

具体实现代码（详解版）：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath> // fabs

using namespace std;

const int N = 110;
const double eps = 1e-6; // 绝对值小于 eps 即为 0

int n;
double a[N][N]; // 存储增广矩阵

// 高斯消元法解线性方程组
int gauss() {
    int c, r; // c 代表当前处理列，r 代表当前处理行

    for (c = 0, r = 0; c < n; c++) { // 按列处理
        int t = r; // 先找到当前这一列绝对值最大的数字所在的行号

        // 找到当前列绝对值最大的元素
        for (int i = r; i < n; i++) {
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c])) t = i;
        }

        // 判断当前列最大绝对值是否接近 0，若是则跳过该列
        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;

        // 将当前行与第 r 行交换
        for (int i = c; i <= n; i++) swap(a[t][i], a[r][i]);

        // 将第 r 行的第 c 列元素归一化
        for (int i = n; i >= c; i--) a[r][i] /= a[r][c];

        // 将第 r 行下方的所有行的第 c 列消为 0
        for (int i = r + 1; i < n; i++) {
            if (fabs(a[i][c]) > eps) {
                double factor = a[i][c];
                for (int j = n; j >= c; j--) a[i][j] -= a[r][j] * factor;
            }
        }

        r++; // 处理下一行
    }

    // 检查是否有无穷多解或无解
    for (int i = r; i < n; i++) {
        if (fabs(a[i][n]) > eps) return 2; // 无解
    }
    if (r < n) return 1; // 无穷解

    // 回代求解
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
        }
    }

    return 0; // 有唯一解
}

int main() {
    cin >> n;
    // 读取增广矩阵
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }

    // 调用高斯消元法并输出结果
    int result = gauss();
    if (result == 0) {
        // 有唯一解
        for (int i = 0; i < n; i++) printf("%.2lf\n", a[i][n]);
    } else if (result == 1) {
        puts("Infinite group solutions"); // 无穷解
    } else {
        puts("No solution"); // 无解
    }

    return 0;
}

AcWing884. 高斯消元解异或线性方程组

实现思路：基本思路和上题求解一般的线性方程组一致，只是区别在与本题未知量之间是异或运算，更适合电脑的运算

具体实现代码（详解版）：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;  // 最大矩阵规模
int a[N][N];        // 存储增广矩阵
int n;              // 方程组中未知数的数量

// 高斯消元法求解异或线性方程组
int gauss() {
    int r, c;  // r 代表当前处理的行，c 代表当前处理的列
    for (r = c = 0; c < n; c++) {  // 枚举每一列
        // 找到第 r 行及其后的非零行
        int t = r;
        for (int i = r; i < n; i++) {
            if (a[i][c]) {  // 找到第一个在当前列中非零的行
                t = i;
                break;
            }
        }

        // 如果当前列中没有非零元素，则跳过这一列
        if (!a[t][c]) continue;

        // 将找到的第 t 行与第 r 行交换，确保当前处理的行是非零行
        for (int i = 0; i <= n; i++) swap(a[r][i], a[t][i]);

        // 用第 r 行消去下面的所有行，使得这一列下面的所有元素为 0
        for (int i = r + 1; i < n; i++) {
            if (a[i][c]) {  // 如果第 i 行的第 c 列非零
                for (int j = c; j <= n; j++) {
                    a[i][j] ^= a[r][j];  // 用第 r 行异或消去第 i 行的第 c 列
                }
            }
        }
        r++;  // 处理下一行
    }

    // 判断解的情况
    // 如果有行中全为 0 且增广列（即最后一列）非零，则无解
    for (int i = r; i < n; i++) {
        if (a[i][n]) return 2;  // 无解
    }
    
    // 如果有多行全为 0 且增广列也为 0，则存在无穷多解
    if (r < n) return 1;  // 无穷多解

    // 否则，进行回代求出唯一解
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            a[i][n] ^= (a[i][j] & a[j][n]);  // 通过已确定的解逐步回代
        }
    }
    return 0;  // 唯一解
}

int main() {
    cin >> n;  // 输入未知数的数量

    // 输入增广矩阵，包含 n 行 n+1 列
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }

    // 调用高斯消元法，判断解的情况
    int res = gauss();
    if (res == 0) {  // 唯一解
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cout << a[i][n] << endl;  // 输出每个未知数的解
        }
    } else if (res == 1) {
        puts("Multiple sets of solutions");  // 无穷多解
    } else {
        puts("No solution");  // 无解
    }

    return 0;
}

以上就是高斯消元法的一些知识，用的不多~