【作者主页】Francek Chen
【专栏介绍】$\lceil$Python机器学习$\rfloor$ 机器学习是一门人工智能的分支学科，通过算法和模型让计算机从数据中学习，进行模型训练和优化，做出预测、分类和决策支持。Python成为机器学习的首选语言，依赖于强大的开源库如Scikit-learn、TensorFlow和PyTorch。本专栏介绍机器学习的相关算法以及基于Python的算法实现。
【GitCode】专栏资源保存在我的GitCode仓库：https://gitcode.com/Morse_Chen/Python_machine_learning。

---

  在上一篇文章聚类中，我们介绍了无监督学习的重要问题之一：聚类问题，并主要讲解了k均值算法。结尾处我们提到，在解决复杂聚类问题时，第一步通常不会直接使用k均值算法，而是会先用其他手段提取数据的有用特征。对于高维复杂数据来说，其不同维度代表的特征可能存在关联，还有可能存在无意义的噪声干扰。因此，无论后续任务是有监督学习还是无监督学习，我们都希望能先从中提取出具有代表性、能最大限度保留数据本身信息的几个特征，从而降低数据维度，简化之后的分析和计算。这一过程通常称为数据降维（dimensionality reduction），同样是无监督学习中的重要问题。本文就来介绍数据降维中最经典的算法——主成分分析（principal component analysis，PCA）。

一、降维

（一）维数灾难

  维数灾难（Curse of Dimensionality）通常是指在涉及到向量的计算的问题中，随着维数的增加，计算量呈指数倍增长的一种现象。在很多机器学习问题中，训练集中的每条数据经常伴随着上千、甚至上万个特征。要处理这所有的特征的话，不仅会让训练非常缓慢，还会极大增加搜寻良好解决方案的困难。这个问题就是我们常说的维数灾难。

图1 维数灾难

  维数灾难涉及数字分析、抽样、组合、机器学习、数据挖掘和数据库等诸多领域。在机器学习的建模过程中，通常指的是随着特征数量的增多，计算量会变得很大，如特征达到上亿维的话，在进行计算的时候是算不出来的。有的时候，维度太大也会导致机器学习性能的下降，并不是特征维度越大越好，模型的性能会随着特征的增加先上升后下降。

（二）降维概述

1. 什么是降维？

  降维（Dimensionality Reduction）是将训练数据中的样本（实例）从高维空间转换到低维空间，该过程与信息论中有损压缩概念密切相关。同时要明白的，不存在完全无损的降维。有很多种算法可以完成对原始数据的降维，在这些方法中，降维是通过对原始数据的线性变换实现的。

2. 为什么要降维

• 高维数据增加了运算的难度。
• 高维使得学习算法的泛化能力变弱（例如，在最近邻分类器中，样本复杂度随着维度成指数增长），维度越高，算法的搜索难度和成本就越大。
• 降维能够增加数据的可读性，利于发掘数据的有意义的结构。

3. 降维的主要作用

（1）减少冗余特征，降低数据维度

  假设我们有两个特征：$x_1$：长度用厘米表示的身高；$x_2$：是用英寸表示的身高。这两个分开的特征$x_1$和$x_2$，实际上表示的内容相同，这样其实可以减少数据到一维，只有一个特征表示身高就够了。很多特征具有线性关系，具有线性关系的特征很多都是几余的特征，去掉冗余特征对机器学习的计算结果不会有影响。

（2）数据可视化

  t-distributed Stochastic Neighbor Embedding（t-SNE）将数据点之间的相似度转换为概率。原始空间中的相似度由高斯联合概率表示，嵌入空间的相似度由“学生t分布”表示。虽然Isomap，LLE和variants等数据降维和可视化方法，更适合展开单个连续的低维的manifold。但如果要准确的可视化样本间的相似度关系，如对于下图所示的S曲线（不同颜色的图像表示不同类别的数据），t-SNE表现更好。因为t-SNE主要是关注数据的局部结构。

4. 降维的优缺点

降维的优点：

• 通过减少特征的维数，数据集存储所需的空间也相应减少，减少了特征维数所需的计算训练时间；
• 数据集特征的降维有助于快速可视化数据；
• 通过处理多重共线性消除冗余特征。

降维的缺点：

• 由于降维可能会丢失一些数据；
• 在主成分分析（PCA）降维技术中，有时需要考虑多少主成分是难以确定的，往往使用经验法则。

二、主成分与方差

  顾名思义，PCA的含义是将高维数据中的主要成分找出来。设原始数据 D = { x 1 , x 2 , ⋯   , x m } \mathcal D=\{\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2,\cdots,\boldsymbol x_m\} D={x1​,x2​,⋯,xm​}，其中 ${\mathbf{x}}_i\in {\mathbb{R}}^d$。我们的目标是通过某种变换 $f:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^k$，将数据的维度从$d$减小到$k$，且通常 $k\ll d$。变换后的数据不同维度之间线性无关，这些维度就称为主成分。也就是说，如果将变换后的数据排成矩阵 $\mathbf{Z}=({\mathbf{z}}_1,\cdots ,{\mathbf{z}}_m{)}^{\mathrm{T}}$，其中 ${\mathbf{z}}_i=f({\mathbf{x}}_i)$，那么$\mathbf{Z}$的列向量是线性无关的。从矩阵的知识可以立即得到 $k<m$。

  PCA算法不仅希望变换后的数据特征线性无关，更要求这些特征之间相互独立，也即任意两个不同特征之间的协方差为零。因此，PCA算法在计算数据的主成分时，会从第一个主成分开始依次计算，并保证每个主成分与之前的所有主成分都是正交的，直到选取了预先设定的$k$个主成分为止。关于主成分选取的规则，我们以一个平面上的二元高斯分布为例来具体说明。如图2(a)所示，数据点服从以$(3,3)$为中心、$x_1$方向方差为1.5、$x_2$方向方差为0.5、协方差为0.8的二元高斯分布。从图中可以明显看出，当前的$x_1$和$x_2$两个特征之间存在关联，并不是独立的。

图2 一个二元高斯分布和两个维度的投影情况

  图2(b)展示了数据分别向$x_1$和$x_2$方向投影的结果。由于$x_1$方向方差更大，数据在该方向的投影分布也更广。也就是说，数据向$x_1$方向的投影保留了更多信息，$x_1$是一个比$x_2$更好的特征。如果我们不再把目光局限于$x_1$和$x_2$两个方向，而是考虑平面上的任意一个方向，那么如左图中红色虚线所示，沿直线 $x_2=0.557x_1+1.330$ 的方向数据的方差是最大的，我们应当将此方向作为数据的特征之一。既然PCA算法希望选出的主成分保留最多的信息，那么就应当不断选取数据方差最大的方向作为主成分。因此，PCA计算的过程就是依次寻找方差最大方向的过程。

  为了方便计算，我们通常要先对数据进行中心化，把当前每个特征都变为均值为0的分布。用$x_i^{(j)}$表示数据${\mathbf{x}}_i$的第$j$个维度，那么均值${\mu }_j$为$${\mu }_j=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}_i^{(j)},j=1,\cdots ,d$$ 将数据中心化，得到$$x_i^{(j)}\leftarrow x_i^{(j)}-{\mu }_j,i=1,\cdots ,m$$

  以图2(a)的高斯分布为例，变换后的图像如图3(b)所示，其中心点已经从$(3,3)$变为了$(0,0)$。接下来在讨论时，我们默认数据都已经被中心化。下面，我们就来具体讲解如何寻找数据中方差最大的方向。

图3 数据的中心化

三、利用特征分解进行PCA

  为了找到方差最大的方向，我们先来计算样本在某个方向上的投影。设$\mathbf{u}$为方向向量，满足 $\Vert \mathbf{u}\Vert =1$，向量$\mathbf{x}$在方向$\mathbf{u}$上的投影为${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{u}$。于是所有样本在方向$\mathbf{u}$上的方差为
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{\mathbf{u}}& =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m({\mathbf{x}}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{u}{)}^2\\ & =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_i{\mathbf{x}}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{u}\\ & ={\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\left(\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{\mathbf{x}}_i{\mathbf{x}}_i^{\mathrm{T}}\right)\mathbf{u}\\ & ={\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Sigma }\mathbf{u}\end{array}$$

  矩阵 $\mathbf{\Sigma }=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{\mathbf{x}}_i{\mathbf{x}}_i^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^{d\times d}$ 称为样本的协方差矩阵。由于$m$是常数，简单起见，下面省略因子$\frac{1}{m}$。要令方差最大，就相当于求解下面的优化问题$$\underset{\mathbf{u}}{\max }{\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Sigma }\mathbf{u}\text{s.t.}\Vert \mathbf{u}\Vert =1$$

  在求解该问题之前，我们先来介绍矩阵的特征值（eigenvalue）与特征分解（eigendecomposition）相关的知识。对于方阵 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，如果向量 $\mathbf{\xi }\in {\mathbb{R}}^n$ 与实数$\lambda$满足 $\mathbf{A}\mathbf{\xi }=\lambda \mathbf{\xi }$，就称$\lambda$是矩阵$\mathbf{A}$的特征值，$\mathbf{\xi }$为矩阵的特征向量。特征向量$\mathbf{x}$的任意非零实数倍$r\mathbf{x}$满足$$\mathbf{A}(r\mathbf{x})=r(\mathbf{A}\mathbf{x})=r(\lambda \mathbf{x})=\lambda (r\mathbf{x})$$ 因而$r\mathbf{x}$也还是特征向量。简单来说，矩阵$\mathbf{A}$作用到其特征向量$\mathbf{x}$上的结果等价于对该向量做伸缩变换，伸缩的倍数等于特征值$\lambda$，但不改变向量所在的直线。从这个角度来看，$r\mathbf{x}$与$\mathbf{x}$共线，$r\mathbf{x}$自然就是特征向量。因此，我们通常更关心单位特征向量，即长度为1的特征向量。例如，矩阵
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$ 的特征值及其对应的单位特征向量有两组，分别为 ${\lambda }_1=1$，${\xi }_1=(-1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 和 ${\lambda }_2=2$，${\xi }_2=(1,0{)}^{\mathrm{T}}$，大家可以自行计算验证。显然，对角矩阵$\text{diag}(d_1,\cdots ,d_n)$的特征值就等于其对角线上的元素$d_1,\cdots ,d_n$。特别地，$n$阶单位阵${\mathbf{I}}_n$的特征值是1，且空间中的所有向量都是该特征值对应的特征向量。

  我们可以从线性变换的角度来理解矩阵的特征值和特征向量。一个$n$阶方阵$\mathbf{A}$可以看作是$n$维空间中的变换，将$n$维向量$\mathbf{x}$变为另一个$n$维向量$\mathbf{A}\mathbf{x}$。由于 $\mathbf{A}({\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2)=\mathbf{A}{\mathbf{x}}_1+\mathbf{A}{\mathbf{x}}_2$ 以及 $\mathbf{A}(r{\mathbf{x}}_1)=r\mathbf{A}{\mathbf{x}}_1$ 对任意向量${\mathbf{x}}_1$、${\mathbf{x}}_2$和实数$r$成立，该变换是一个线性变换。事实上，当坐标轴确定之后，线性变换与矩阵之间有一一对应关系。如果把向量都看作从原点指向向量所表示坐标的有向线段，可以证明，任意一个线性变换总可以分解成绕原点旋转和长度伸缩的组合。因此，矩阵与向量相乘$\mathbf{A}\mathbf{x}$可以理解为将向量$\mathbf{x}$旋转某一角度，再将长度变为某一倍数。而矩阵的特征向量，就是在该变换作用下只伸缩不旋转的向量，并且其对应的特征值就是伸缩的倍数。当特征值 $\lambda >0$ 时，变换后的向量与原向量方向相同；$\lambda <0$ 时方向相反；$\lambda =0$ 则表示矩阵会把所有该直线上的向量压缩为零向量。

  从这一角度继续，我们可以引入正定矩阵（positive definite）和半正定矩阵（positive semidefinite）的概念。如果对任意非零向量$\mathbf{x}$，都有 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}\ge 0$，就称$\mathbf{A}$为半正定矩阵；如果严格有 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}>0$，就称$\mathbf{A}$为正定矩阵。如果将 $\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}$ 看作变换后的向量，那么 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}y\ge 0$ 就表示$\mathbf{x}$与$\mathbf{y}$之间的夹角小于等于90°。由此，我们可以立即得到半正定矩阵的所有特征值都非负，否则负特征值会使特征向量在变换后反向，与原向量夹角为180°，产生矛盾。

  为什么我们要引入半正定矩阵呢？在上面的优化问题中，我们得到的目标函数是${\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Sigma }\mathbf{u}$，其中$\mathbf{\Sigma }$是协方差矩阵。事实上，该矩阵一定是半正定矩阵。设$\mathbf{y}$是任一非零向量，那么$${\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Sigma }\mathbf{y}={\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}\left(\sum _{i=1}^m{\mathbf{x}}_i{\mathbf{x}}_i^{\mathrm{T}}\right)\mathbf{y}=\sum _{i=1}^m{\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_i{\mathbf{x}}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{y}=\sum _{i=1}^m({\mathbf{x}}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{y}{)}^2\ge 0$$

  根据定义，$\mathbf{\Sigma }$是半正定矩阵。因此，我们可以用半正定矩阵的一些性质来帮助我们求解该优化问题。这里，我们不加证明地给出一条重要性质：对于$d$阶对称半正定矩阵$\mathbf{\Sigma }$，总可以找到它的$d$个单位特征向量${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_d$，使得这些特征向量是两两正交的，也即对任意 $1\le i$，$j\le d$，都有$$\Vert {\mathbf{e}}_i\Vert =1,{\mathbf{e}}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{e}}_j=\{\begin{array}{l}1,i=j\\ 0,i\ne j\end{array}$$ 有兴趣的可以在线性代数的相关资料中找到该性质的证明。利用该性质，记 $\mathbf{Q}=({\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_d)\in {\mathbb{R}}^{d\times d}$，有$$({\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Q}{)}_{ij}={\mathbf{e}}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{e}}_j=\mathbb{I}(i=j)$$ 于是，${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Q}$对角线上的元素全部为1，其他元素全部为0，恰好是单位矩阵${\mathbf{I}}_d$。因此，$\mathbf{Q}$的逆矩阵就是其转置，${\mathbf{Q}}^{-1}={\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}$。因为组成该矩阵的向量是相互正交的，我们将这样的矩阵称为正交矩阵（orthogonal matrix）。根据逆矩阵的性质，我们有$${\mathbf{I}}_d={\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Q}=\mathbf{Q}{\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}=({\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_d)\left(\begin{array}{c}{\mathbf{e}}_1^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\mathbf{e}}_d^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=\sum _{i=1}^d{\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_i^{\mathrm{T}}$$ 设特征向量${\mathbf{e}}_i$对应的特征值是${\lambda }_i$，那么矩阵$\mathbf{\Sigma }$可以写为
$$\begin{array}{rl}\mathbf{\Sigma }& =\mathbf{\Sigma }{\mathbf{I}}_d=\mathbf{\Sigma }\sum _{i=1}^d{\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_i^{\mathrm{T}}=\sum _{i=1}^d(\mathbf{\Sigma }{\mathbf{e}}_i){\mathbf{e}}_i^{\mathrm{T}}=\sum _{i=1}^d{\lambda }_i{\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_i^{\mathrm{T}}\\ & =({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_d)\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathbf{e}}_1^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{e}}_2^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\mathbf{e}}_d^{\mathrm{T}}\end{array}\right)\\ & =\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\end{array}$$ 其中，$\mathbf{\Lambda }=\text{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_d)$ 是由特征向量所对应的特征值依次排列而成的对角矩阵。上式表明，一个半正定矩阵可以分解成3个矩阵的乘积，其中$\mathbf{Q}$是其正交的特征向量构成的正交矩阵，$\mathbf{\Lambda }$是其特征值构成的对角矩阵，这样的分解就称为矩阵的特征分解。

  利用特征分解，我们可以很容易地计算${\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Sigma }\mathbf{u}$的值。首先，由于${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_d$是维空间中的个正交向量，$\mathbf{u}$一定可以唯一表示成这些向量的线性组合，即 $\mathbf{u}=\sum _{i=1}^d{\alpha }_i{\mathbf{e}}_i$，其中系数${\alpha }_i$等于向量$\mathbf{u}$在${\mathbf{e}}_i$方向上的投影长度。我们可以将这组向量想象成相互垂直的坐标轴，而$({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_d)$就相当于$\mathbf{u}$在这组坐标轴下的坐标。这样，${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{u}$可以化为
$$\begin{array}{r}{\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{u}={\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\sum _{i=1}^d{\alpha }_i{\mathbf{e}}_i=\left(\begin{array}{c}\sum _{i=1}^d{\alpha }_i{\mathbf{e}}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{e}}_i\\ ⋮\\ \sum _{i=1}^d{\alpha }_i{\mathbf{e}}_d^{\mathrm{T}}{\mathbf{e}}_i\end{array}\right)=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_d)=\mathbf{\alpha }\end{array}$$ 这里，我们用到了 ${\mathbf{e}}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{e}}_j=\mathbb{I}(i=j)$ 的性质，把求和中${\mathbf{e}}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{e}}_j$都消去了。接下来，${\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Sigma }\mathbf{u}$可以计算得：$${\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\mathbf{u}={\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{u}={\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{\alpha }=\sum _{i=1}^d{\lambda }_i{\alpha }_i^2$$

  在上面的优化问题 $\underset{\mathbf{u}}{\max }{\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Sigma }\mathbf{u}\text{s.t.}\Vert \mathbf{u}\Vert =1$ 中，我们还要求$\mathbf{u}$是方向向量，即 $\Vert \mathbf{u}\Vert =1$。这一要求给系数${\alpha }_i$添加了限定条件：
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^d{\alpha }_i^2& =\sum _{i=1}^d({\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{e}}_i{)}^2=\sum _{i=1}^d{\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{u}\\ & ={\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\left(\sum _{i=1}^d{\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_i^{\mathrm{T}}\right)\mathbf{u}\\ & ={\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{I}}_d\mathbf{u}\\ & ={\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\mathbf{u}=\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2=1\end{array}$$ 因此，原优化问题等价于$$\underset{\mathbf{u}}{\max }\sum _{i=1}^d{\lambda }_i{\alpha }_i^2,\text{s.t.}\sum _{i=1}^d{\alpha }_i^2=1$$

  由于$\mathbf{\Sigma }$是半正定矩阵，其特征值${\lambda }_i$必定非负，该问题的解就是$\mathbf{\Sigma }$的最大特征值${\lambda }_{\max }$，不妨设其为${\lambda }_u$。为了使上式取到最大值，应当有 ${\alpha }_{\mathbf{u}}={\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{e}}_{\mathbf{u}}=1$，且其他的${\alpha }_i$全部为零。因此，使方差最大的方向就是该特征值${\lambda }_{\mathbf{u}}$对应的特征向量${\mathbf{e}}_{\mathbf{u}}$的方向。

  上面的计算结果表面，用PCA寻找第一个主成分的过程就是求解PCA最大特征值及其对应特征向量的过程。事实上，由于协方差矩阵$\mathbf{\Sigma }$半正定，其所有特征向量正交，恰好也满足我们最开始“每个主成分都与之前的所有主成分正交”的要求。如果排除掉第一主成分，第二主成分就对应$\mathbf{\Sigma }$第二大特征值的特征向量，依次类推。因此，如果我们要把$d$维的数据降到$k$维，只需要计算$\mathbf{\Sigma }$最大的$k$个特征值对应的特征向量即可。设这$k$个特征向量依次为${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_k$，矩阵 $\mathbf{W}=({\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_k)\in {\mathbb{R}}^{d\times d}$，原数据矩阵 $\mathbf{X}=({\mathbf{x}}_1\cdots ,{\mathbf{x}}_m{)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^{d\times d}$，那么降维后的数据为$$\text{PCA}(\mathbf{X})=\mathbf{X}\mathbf{W}$$

四、动手实现PCA算法

  下面，我们在NumPy库中线性代数工具的帮助下实现PCA算法。首先，我们导入数据集PCA_dataset.csv并将其可视化。数据集的每一行包含两个数$x_1$与$x_2$，代表平面上点的坐标$(x_1,x_2)$。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 导入数据集
data = np.loadtxt('PCA_dataset.csv', delimiter=',')
print('数据集大小：', len(data))

# 可视化
plt.figure()
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], color='blue', s=10)
plt.axis('square')
plt.ylim(-2, 8)
plt.grid()
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')
plt.show()

  接下来，我们按上面讲解的方式实现PCA算法。numpy.linalg中提供了许多线性代数相关的工具，可以帮助我们计算矩阵的特征值与特征向量。

def pca(X, k):
    d, m = X.shape
    if d < k:
        print('k应该小于特征数')
        return X, None

    # 中心化
    X = X - np.mean(X, axis=0)
    # 计算协方差矩阵
    cov = X.T @ X
    # 计算特征值和特征向量
    eig_values, eig_vectors = np.linalg.eig(cov)
    # 获取最大的k个特征值的下标
    idx = np.argsort(-eig_values)[:k]
    # 对应的特征向量
    W = eig_vectors[:, idx]
    # 降维
    X = X @ W
    return X, W

  最后，我们在数据集上测试该PCA函数的效果，并将变换后的数据绘制出来。由于原始数据只有二维，为了演示PCA的效果，我们仍然设置 $k=2$，不进行降维。但是，从结果中仍然可以看出PCA计算的主成分方向。相比于原始数据，变换后的数据最“长”的方向变成了横轴的方向。

X, W = pca(data, 2)
print('变换矩阵：\n', W)

# 绘图
plt.figure()
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], color='blue', s=10)
plt.axis('square')
plt.ylim(-5, 5)
plt.grid()
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')
plt.show()

五、用sklearn实现PCA算法

  Sklearn库中同样提供了实现好的PCA算法，我们可以直接调用它来完成PCA变换。可以看出，虽然结果图像与我们上面直接实现的版本有180°的旋转，变换矩阵的元素也互为相反数，但PCA本质上只需要找到主成分的方向，因此两者得到的结果是等价的。

使用scikit-learn库中decomposition模块的PCA类可以创建PCA模型，其基本语法格式和参数说明如下。

sklearn.decomposition.PCA(n_components=None, *, copy=True, whiten=False, svd_solver='auto', tol=0.0, iterated_power='auto', n_oversamples=10, power_iteration_normalizer='auto', random_state=None)

参数名称	参数说明
n_components	接收int或str。表示所要保留的主成分个数n，即保留下来的特征个数n，赋值为int时，表示降维的维度，如n_components=1，将把原始数据降到一个维度。赋值为str时，表示降维的模式，如取值为’mle’时，将自动选取特征个数n，使得满足所要求的方差百分比。默认为None。
copy	接收bool。表示是否在运行算法时，将原始训练数据复制一份。若为True，则运行后，原始训练数据的值不会有任何改变，因为是在原始数据的副本上进行运算；若为False，则运行后，原始训练数据的值会发生改变。默认为True。
whiten	接收bool。表示是否白化，使得每个特征具有相同的方差。默认为False。
svd_solver	接收{‘auto’, ‘full’, ‘arpack’, ‘randomized’}，用于奇异值分解的算法。‘auto’会根据输入数据选择最佳的求解器。默认为’auto’。
tol	接收float。奇异值的容忍度。在使用’arpack’求解器时使用。默认为0.0。
iterated_power	接收int或’auto’。在使用’randomized’求解器时，幂法迭代的次数。默认为’auto’。
n_oversamples	接收int。随机SVD的过采样数量。默认值为10。
power_iteration_normalizer	接收{‘auto’, ‘LU’, ‘none’}。在幂迭代中使用的归一化方法。默认为’auto’。
random_state	接收int、RandomState实例或None。控制估计器的随机性。如果设置为固定整数，则可以确保结果的可重复性。默认为None。

from sklearn.decomposition import PCA

# 中心化
X = data - np.mean(data, axis=0)
pca_res = PCA(n_components=2).fit(X)
W = pca_res.components_.T
print ('sklearn计算的变换矩阵：\n', W)
X_pca = X @ W

# 绘图
plt.figure()
plt.scatter(X_pca[:, 0], X_pca[:, 1], color='blue', s=10)
plt.axis('square')
plt.ylim(-5, 5)
plt.grid()
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')
plt.show()

六、拓展：奇异值分解

  本文介绍了数据降维的常用算法之一：PCA算法。数据降维是无监督学习的重要问题，在机器学习中有广泛的应用。由于从现实生活中采集的数据往往非常复杂，包含大量的冗余信息，通常我们必须对其进行降维，选出有用的特征供给后续模型使用。此外，有时我们还希望将高维数据可视化，也需要从数据中挑选2到3个最有价值的维度，将数据投影后绘制出来。除了PCA之外，现在常用的降维算法还有线性判别分析（linear discriminant analysis，LDA）、一致流形逼近与投影（uniform manifold approximation and projection，UMAP）、t分布随机近邻嵌入（t-distributed stochastic neighbor embedding，t-SNE）等。这些算法的特点各不相同，也有不同的适用场景。

  关于PCA的计算方式，由于计算协方差矩阵 $\mathbf{\Sigma }=\mathbf{X}{\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}$ 和特征分解的时间复杂度较高，实践中通常会采用矩阵的奇异值分解（singular value decomposition，SVD）来代替特征分解。上面我们用到的sklearn库中的PCA算法就是以奇异值分解为基础的实现的。相比于特征分解，奇异值分解不需要实际计算出$\mathbf{\Sigma }$，并且存在更高效的迭代求解方法。感兴趣的可以查阅相关资料，了解特征分解和奇异值分解的异同。

1. 奇异值分解的构造

2. 奇异值分解用于数据压缩

3. 奇异值分解的几何解释

4. 奇异值分解——SVD与PCA的关系

  实际上，如果将矩阵${\mathbf{A}}_{m\times n}$看作是一个样本集合，其中的行看作特征随机变量，列看作每一个样本。当对数据集进行规范化后，矩阵${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}$就是样本集合的协方差矩阵。这样，SVD分解后的右奇异矩阵就是PCA分析中的特征向量组成的矩阵。

  最后，大家可以在SETOSA网站的PCA算法动态展示平台上观察PCA的结果随数据分布的变化，加深对算法的理解。

附：以上文中的数据集及相关资源下载地址：
链接：https://pan.quark.cn/s/15d427a80558
提取码：vYkb