地毯

题目描述

在 $n\times n$ 的格子上有 $m$ 个地毯。

给出这些地毯的信息，问每个点被多少个地毯覆盖。

输入格式

第一行，两个正整数 $n,m$。意义如题所述。

接下来 $m$ 行，每行两个坐标 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，代表一块地毯，左上角是 $(x_1,y_1)$，右下角是 $(x_2,y_2)$。

输出格式

输出 $n$ 行，每行 $n$ 个正整数。

第 $i$ 行第 $j$ 列的正整数表示 $(i,j)$ 这个格子被多少个地毯覆盖。

样例 #1

样例输入 #1

5 3
2 2 3 3
3 3 5 5
1 2 1 4

样例输出 #1

0 1 1 1 0
0 1 1 0 0
0 1 2 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1

提示

样例解释

覆盖第一个地毯后：

$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$0$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

覆盖第一、二个地毯后：

$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$2$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$

覆盖所有地毯后：

$0$	$1$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$2$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$

---

数据范围

对于 $20\%$ 的数据，有 $n\le 50$，$m\le 100$。

对于 $100\%$ 的数据，有 $n,m\le 1000$。

题解

做这道题之前我还不是很懂差分的，于是去搜了下差分，我从【C++算法基础】#9前缀和与差分 | 轻松学算法 | 图解ACM竞赛算法
学习了差分和前缀和的关系，以及差分的一些简单的应用。
经过学习之后得出这题的解题思路。如果嫌看视频有点慢，只想学习一下差分是什么，也可以只看我的文章，希望有帮助。

首先是差分的应用场景：
差分是用于求数组部分区间（有区间重叠）变化后的数组的。
什么意思呢？就是比如说对数组的$[1,3]、[2,6]$两个区间分别进行$+2、-4$的操作，这两个区间有重叠部分，如果是正常的方法就是有k个区间修改，枚举k次，每次枚举修改一次。时间复杂度为$O(nk)$。

而差分呢可以把这k次枚举直接消掉，我们只需要枚举1次，就可以完成对区间的修改！
差分维护一个差分数组$diff[n]$，这个数组里面记录着数组的变化，
首先$diff[i]=a[i]-a[i-1]$

例如：
我们想要让区间$[2,3]$的数$+2$
那么令$diff[2]=2,diff[4]=-2$，为什么这么操作？
因为$diff[i]=a[i]-a[i-1]$
所以$a[i]=a[i-1]+diff[i]$
我们可以看到，当我们
令$diff[2]=2$后，
$a[2]=a[1]+diff[2]$即$a[2]$比原来的$a[2]$多$2$，
$a[3]=a[2]+diff[3]$，因为$a[2]$已经比原来的多$2$了，所以此时新的$a[3]$就比旧的也多$2$。

以此类推，当我们修改$diff[2]=2$后，后续所有$a[i>=2]$都比原先的多$2$

可是我们只想修改区间$[2,3]$，那么我们需要让后续的$a[i>3]$抵消掉多出来的$2$？

方法也很简单，就是把$diff[4]$修改成$-2$即可。

看完差分的思想后，这题就没什么特别大的难度了，我们只需要把每行的差分数组求出来，然后边还原新的数组就可以得到每个格子覆盖的地毯数量

N, M = map(int, input().strip().split())
diff = [[0 for _ in range(N+1)] for _ in range(N)]
coordinates = [list(map(int, input().strip().split())) for _ in range(M)]
for i in coordinates:
    for k in range(i[0], i[2]+1):
        diff[k-1][i[1]-1] += 1
        diff[k-1][i[3]] -= 1
matrix = [[0 for _ in range(N)] for _ in range(N)]
for i in range(N):
    for j in range(N):
        matrix[i][j] = matrix[i][j-1] + diff[i][j]
print("\n".join([" ".join(list(map(str, mi))) for mi in matrix]))

这题显然还可以优化，等我什么时候变聪明了再回来优化吧。优化思路就是列也差分，那样维护$diff[n]$只需要$O(m)$时间复杂度，而我的代码维护$diff[n]$需要$O(mn)$时间复杂度。
具体怎么维护后续又怎么还原我还没搞懂，这个大佬们轻喷。