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欢迎 点赞👍 收藏✨ 留言✉ 加关注💓本文由 C++忠实粉丝 原创位运算(1)_常见位运算总结
收录于专栏【经典算法练习】
本专栏旨在分享学习算法的一点学习笔记，欢迎大家在评论区交流讨论💌
目录
1. 基础位运算
位运算的基本概念:
位运算的应用:
2. 给一个数n,确定它的二进制表示中的第x位是0还是1
3. 将一个数n的二进制表示的第x位修改成1
4. 将一个数n的二进制表示的第x位修改成0
5. 位图的思想
1. 位图的基本概念
2. 位图的构建
3. 基本操作
4. 位图的优点
5. 位图的应用
6. 提取一个数(n)二进制表示中最右侧的1
7. 除去一个数(n)二进制表示中最右侧的1
8. 位运算的优先级
9. 异或(^)运算的运算律
1. 基础位运算
| 运算符 | 描述 | 示例 |
|---|---|---|
| & | 按位与 | a & b |
| | | 按位或 | a | b |
| ^ | 按位异或 | a ^ b |
| ~ | 按位取反 | a ~ b |
| << | 左移 | a << n |
| >> | 右移 | a >> n |
位运算的基本概念:
按位与（AND）(&)：
只有对应位都为1时，结果为1。
示例：5 & 3（0101 & 0011 = 0001）结果为 1。
按位或（ | ）：
对应位有一个为1时，结果为1；只有当对应位都是0时，结果才为0。
示例：5 | 3：(0101 | 0011 = 0111) (结果为7)
按位异或（XOR）(^)：
对应位不同（一个为1，一个为0）时结果为1。
示例：5 ^ 3（0101 ^ 0011 = 0110）结果为 6。
按位取反（NOT）(~)：
将每一位取反（0变1，1变0）。
示例：~5（~0101 = 1010，在补码表示中会得到 - 6）。
左移（ << ）：
将所有位向左移动n位，右侧补0。相当于乘以2的n次方。
示例：5 << 1（0101 << 1 = 1010）结果为 10。
右移（ >> ）：
将所有位向右移动n位，左侧补符号位（对于负数，补1；对于正数，补0）。
示例：5 >> 1（0101 >> 1 = 0010）结果为 2。
位运算的应用:
位运算在许多情况下非常有用，常见的应用包括：
快速计算：
位运算可以用于快速计算乘法和除法（通过左移和右移）。
状态存储：
使用位运算可以在单个整数中存储多个布尔值，节省空间。
位掩码（Bitmasking）：
通过位运算可以方便地操作集合，例如加入、删除和检查元素。
查找特定位：
检查某一位是否为1，例如 a& (1 << n) 检查整数 a 的第 n 位。
2. 给一个数n,确定它的二进制表示中的第x位是0还是1
方法: (n >> x) & 1
示例:
3. 将一个数n的二进制表示的第x位修改成1
方法: n = n | (1 << x)
示例:
4. 将一个数n的二进制表示的第x位修改成0
方法: n = n & (~(1 << x))
示例:
5. 位图的思想
位图（Bitmap）是一种高效的数据结构，用于表示集合或管理数据的存在性。它通过位的方式存储信息，能够在空间和时间上进行优化，特别是在处理大范围的数据时。
1. 位图的基本概念
位图使用一个二进制数组（比特数组）来表示元素的存在性。每一个比特（0或1）对应集合中的一个元素：
如果某个比特为 1，表示集合中存在对应的元素。
如果某个比特为 0，表示集合中不存在对应的元素。
例如，假设我们有一个范围为 0 到 9 的整数集合，可以使用一个大小为 10 的位图：
0 代表数字 0 的存在
1 代表数字 1 的存在
2. 位图的构建
假设我们要管理一组整数，位图的构建步骤如下：
初始化一个数组，大小为最大元素值加一（或按需要的范围进行调整）。
对于每一个要添加到集合中的元素，将对应位设为 1。
3. 基本操作
插入元素：
对于一个元素x，将位图的第x 位设为 1。
示例：bitmap[x] = 1;
删除元素：
对于一个元素x，将位图的第x 位设为 0。
示例：bitmap[x] = 0;
查询元素：
对于一个元素x，检查位图的第x 位是否为 1。
示例：if(bitmap[x] == 1) { /* 存在 */ }
4. 位图的优点
空间效率：相比于存储完整的数据结构，位图可以大大减少存储空间，特别是在处理大范围的整数时。
快速操作：位图的插入、删除和查询操作时间复杂度为O(1)，非常高效。
缓存友好：由于位图在内存中是连续的，可以更好地利用缓存。
5. 位图的应用
集合操作：用于实现集合的并、交、差等操作。
去重：快速检测数据中是否存在重复元素。
压缩存储：在一些场景中，结合其他压缩技术，可以显著减少内存使用。
图像处理：用作图像的像素表示，尤其是黑白图像。
操作系统：在内存管理中，位图常用于表示空闲和占用的内存块。
6. 提取一个数(n)二进制表示中最右侧的1
方法: n & (-n)
示例:
7. 除去一个数(n)二进制表示中最右侧的1
方法: n & (n - 1)
示例:
8. 位运算的优先级
1. 按位取反（~）
2. 位移运算（左移 << 和 右移 >> ）
3. 按位与（ & ）
4. 按位异或（ ^ ）
5. 按位或（ | ）
int a = 5; // 二进制: 0000 0101
int b = 3; // 二进制: 0000 0011
int result = a & b | b ^ a << 1;左移运算：a << 1 先计算，结果是 10（即 0000 1010）。
按位异或：b ^ a 计算，结果是 6（即 0000 0110）。
按位与：a & b 计算，结果是 1（即 0000 0001）。
按位或：最后，1 | 6 计算，结果是 7（即 0000 0111）。
注意: 如果对位运算的优先级不是很了解的话,括号能加尽加
9. 异或(^)运算的运算律
1. 交换律
异或运算具有交换性，即对于任意两个数
a和b，有：a^b = b^a
这意味着在进行异或运算时，操作数的顺序可以互换。
2. 结合律
异或运算也具有结合性，即对于任意三个数
a、b 和c，有：(a^b)^c = a^(b^c)
这意味着在进行多个异或运算时，可以自由地重新组合操作数。
3. 身份律
异或运算有身份元素，即对于任意数
a，有：a^0 = a
这表明将任意数与0进行异或运算的结果仍然是该数本身。
4. 自反律
对于任意数a，有：a^a = 0
这意味着一个数与自身进行异或运算的结果是0。
5. 与1的运算
对于任意数a，有：a^1 = ∼a
这表示将一个数与1进行异或运算相当于对该数进行按位取反。
6. 传播性
异或运算满足传播性（或称为分配性），即对于任意数
a、b 和c，有：a^(b^c) = (a^b)^c
这说明无论如何组合多个异或操作，结果都是一致的。
