考试要求
1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.

2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3、理解复合函数及分段函数的概念、了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形、了解初等函数的概念。
5、理解极限的概念、理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.
6、掌握极限的性质及四则运算法则.
7、.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.
8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.
9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.

间断点的定义

定义 $若f(x)在x_0$的某去心领域内有定义，但在$x_0$点不连续，则称$x_0$为$f(x)$的间断点。

$x_0$为$f(x)$的`间断点 $\iff$$f(x)$在$x_0$处不连续$\iff \{\begin{array}{l}f(x_0)有定义\\ \\ {\lim }_{x\to x_0}f(x)存在\\ \\ {\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\end{array}$三个条件中至少有一个不成立

间断点的分类

第一类间断点：左、右极限都存在的间断点，其中左、右极限都存在且相等的间断点称为可去间断点；左、右极限都存在但不相等的间断点称为跳跃间断点。
第二类间断点：左、右极限至少有一个不存在的间断点，其中若${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=\infty 或{\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=\infty$，则称$x_0为f(x)$的无穷间断点；若${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)$振荡，则称$x_0为f(x)$的振荡间断点。

知识点：
1、定理 初等函数在其定义区间内都是连续的
2、$等价无穷小：1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

练习1：求下列函数的间断点，并判断其类型.
$$\begin{gathered} (1)、f(x)=\frac{1-\cos x}{x^3+x^2} \\ (2)、f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{|x^2-1|}{x-1},x\ne 1\\ \\ 2,x=1\end{array} \end{gathered}$$

(1)解：$$\begin{gathered} f(x)=\frac{1-\cos x}{x^3+x^2}是初等函数，其间断点是无定义点 \\ \Rightarrow x^3+x^2=0的为其间断点，即x=0,x=-1 \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^3+x^2}=\frac{1}{2}\Rightarrow 第一类间断点-可去间断点\\ \\ {\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^3+x^2}=\frac{1-\cos (-1)}{(-1{)}^2(1-1)}=\infty \Rightarrow 第二类间断点-无穷间断点\end{array} \end{gathered}$$

(2)解：$$\begin{gathered} f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{|x^2-1|}{x-1},x\ne 1\\ \\ 2,x=1\end{array} \\ \Rightarrow f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1},x<-1\\ \\ \frac{1-x^2}{x-1},-1<x<1\\ \\ 2,x=1\\ \\ \frac{x^2-1}{x-1},x>1\end{array} \\ \Rightarrow 1的为其间断点 \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{1-x^2}{x-1}=-2\\ \\ {\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{x^2-1}{x-1}=2\end{array} \\ \Rightarrow \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)，x=1是第一类间断点-跳跃间断点 \end{gathered}$$

练习2：设函数$f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x}{x-1}}-1}，x=0，x=1$是什么间断点？

知识点：
1、定理 初等函数在其定义区间内都是连续的
2、$等价无穷小：e^x-1\sim x$，$e^{-\infty }=0,{\lim }_{x\to -\infty }{e}^x=0$

解：$$\begin{gathered} f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x}{x-1}}-1}为初等函数，无定以点为x=0,-1点 \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to 0}\frac{1}{e^{\frac{x}{x-1}}-1}=\infty \Rightarrow 无穷间断点\\ \\ {\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{e^{\frac{x}{x-1}}-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\frac{x}{x-1}}=0\\ \\ {\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{1}{e^{\frac{x}{x-1}}-1}={\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{1}{0-1}=-1\end{array} \\ \Rightarrow x=0是第二类间断点（无穷间断点），x=1第一类跳跃间断点 \end{gathered}$$

闭区间上连续函数的性质

定理（最值定理） 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值与最小值。

定理（有界性定理） 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有界。

定理（介值定理） 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\ne f(b)$，则对于任意介于$f(a)与f(b)$之间的数$C$，至少存在一点$\xi \in (a,b)，使f(\xi )=C$。

介值定理还可等价表述为如下形式：
设$f(x)在闭区间[a,b]上连续，且m,M是f(x)在[a,b]$上的最小值和最大值，则对介于$m,M$之间的任一数$C$，则在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使$f(\xi )=C$.

定理(零点定理) 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)，使f(\xi )=0$。

练习1：证明方程$e^x-2=x$在$(0,2)$内至少有一条根。

知识点：
1、定理(零点定理) 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)，使f(\xi )=0$。

解：$$\begin{gathered} 令f(x)=e^x-2-x，显然f(x)在[0,2]内连续 \\ \Rightarrow f(0)=-1,,f(x)=e^2，f(0)\cdot f(2)<0 \\ \Rightarrow 由零点定理可知，在(0,2)至少存在一点\xi \in (x,b)，使f(\xi )=0 \\ \Rightarrow e^{\xi }-2=\xi ，则\xi 是方程e^x-2=x的根， \\ 所以e^x-2=x在(0,2)内至少有一条根 \end{gathered}$$

练习2：证明方程$x=a\sin x+b$至少有一个不超过$a+b$的正根，其中$a>0,b>0$。

知识点：
1、定理(零点定理) 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)，使f(\xi )=0$。

证明：$$\begin{gathered} 令f(x)=x-a\sin x-b，则f(x)在[0,a+b]上连续， \\ 且f(0)=-b<0，f(a+b)=a+b-a\sin (a+b)-b=a(1-\sin (a+b))\ge 0 \\ 1)、若f(a+b)=0，即\sin (a+b)=1，则x=a+b即为方程的根，结论成立 \\ 2)、若f(a+b)>0，则由零点定理，在(0,a+b)内至少存在一点\xi ，使得f(\xi )=0，即x=\xi 为方程的根，结论成立 \\ 综合上述两种情形，可得方程x=a\sin x+b至少有一个不超过a+b的正根 \end{gathered}$$

练习3：设函数$f(x)$在$[0,2a]$上连续，且$f(0)=f(2a)$，证明：在$[0,a]$上至少存在一点$\xi$，使$f(\xi )=f(\xi +a)$

知识点：
1、定理(零点定理) 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)，使f(\xi )=0$。

证：$$\begin{gathered} 令F(x)=f(x)-f(x+a)，则F(x)在[0,a]上连续， \\ F(0)=f(0)-f(a),F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0) \\ \Rightarrow F(0)\cdot F(a)=-[f(0)-f(a){]}^2\le 0 \\ 1)、若F(a)\cdot F(0)=0，即f(0)=f(a)，则取\xi =0或\xi =a都会满足f(\xi )=f(\xi +a)，结论成立\cdot \\ 2)、若F(a)\cdot F(0)<0，则由零点定理知，在(0,a)内至少存在一点\xi ，使得F(\xi )=0,即f(\xi )=f(\xi +a)，结论成立 \\ 综合上述两种情形，存在\xi \in [0,a]，使f(\xi )=f(\xi +a) \end{gathered}$$

练习4：设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$0\le f(x)\le 1$，证明：在$[0,1]上至少存在一点\xi ，使f(\xi )=\xi$

知识点：
1、定理(零点定理) 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)，使f(\xi )=0$。

证：$$\begin{gathered} 令F(x)=f(x)-x，在[0,1]上连续 \\ F(0)=f(0)-0,F(1)=f(1)-1,\Rightarrow F(0)F(1)\le 0 \\ 1)、当F(0)=0时，f(0)=0,取\xi =0时，满足f(\xi )=\xi ，满足结论 \\ 2)、当F(1)=0时，f(1)=1，取\xi =1时，满足f(\xi )=\xi ，满足结论 \\ 3)、F(0)>0,F(1)<0时，由零点定理可知，在(0,1)内至少存在一点\xi ，使得F(\xi )=0，即f(\xi )=\xi ，结论成立 \\ 综上所述，结论成立 \end{gathered}$$

练习5：设$f(x)在[a,b]上连续，x_i\in [a,b],k_i>0(i=1,2,3)，且k1+k2+k3=1$，试证：在$[a,b]内至少存在一点\xi$，使得$$f(\xi )=k_{1}f(x_1)+k_{2}f(x_2)+k_{3}f(x_3)$$

知识点：
1、定理（介值定理） 设$f(x)在闭区间[a,b]上连续，且m,M是f(x)在[a,b]$上的最小值和最大值，则对介于$m,M$之间的任一数$C$，则在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使$f(\xi )=C$.

证：$$\begin{gathered} 因f(x)在[a,b]上连续，且m,M是f(x)在[a,b]上的最小值和最大值 \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}m\le f(x_1)\le M\\ \\ m\le f(x_2)\le M\\ \\ m\le f(x_3)\le M\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{k}_{1}m\le k_{1}f(x_1)\le k_{1}M\\ \\ k_{2}m\le k_{2}f(x_2)\le k_{2}M\\ \\ k_{2}m\le f(x_3)\le k_{2}M\end{array} \\ \Rightarrow (k1+k2+k3)m\le k_{1}f(x_1)+k_{2}f(x_2)+k_{3}f(x_3)\le (k1+k2+k3)M, \\ 由k1+k2+k3=1\Rightarrow m\le k_{1}f(x_1)+k_{2}f(x_2)+k_{3}f(x_3)\le M \\ 由介值定理得：令介于m,M之间得任一数C=k_{1}f(x_1)+k_{2}f(x_2)+k_{3}f(x_3)，在[a,b]内至少存在一点\xi ,使得 \\ f(\xi )=k_{1}f(x_1)+k_{2}f(x_2)+k_{3}f(x_3) \end{gathered}$$

练习6：已知函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=0，f(1)=1$，证明：存在$\xi \in (0,1)使得f(\xi )=1-\xi$.

知识点：
1、定理(零点定理) 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)，使f(\xi )=0$。
2、定理（介值定理） 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\ne f(b)$，则对于任意介于$f(a)与f(b)$之间的数$C$，至少存在一点$\xi \in (a,b)，使f(\xi )=C$

证：$$\begin{gathered} 方法一：零点定理 \\ 令F(x)=f(x)+x-1，在[0,1]上连续 \\ \Rightarrow F(0)=f(0)-1=-1，F(1)=f(1)=1 \\ 由零点定理知，存在\xi \in (0,1)，使得F(\xi )=0,即f(\xi )=1-\xi \\ 方法二：介值定理 \\ 令G(x)=f(x)+x，在[0,1]上连续，G(0)=0,G(1)=2 \\ ,令介于0与2之间的数C=1，由介值定理得 \\ 至少存在一点\xi \in (0,1)，使G(\xi )=1即f(\xi )=1-\xi \end{gathered}$$

练习7：已知函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，$a<c<d<b$，试证对任意得正数$p,q$至少存在一个$\xi \in [c,d]，使pf(c)+qf(d)=(p+q)f(\xi )$.

知识点：
1、定理（介值定理） 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\ne f(b)$，则对于任意介于$f(a)与f(b)$之间的数$C$，至少存在一点$\xi \in (a,b)，使f(\xi )=C$
2、 定理（最值定理） 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值与最小值。

证：$$\begin{gathered} 由题意可知，f(x)在[0,1]上连续，则f(x)在[a,b]上有最大值M，最小值m \\ m=\frac{pm+qm}{p+q}\le \frac{pf(c)+qf(d)}{p+q}\le M=\frac{pM+qM}{p+q} \\ 由介值定理可知，至少存在一个\xi \in (a,b)，使 \\ f(\xi )=\frac{pf(c)+qf(d)}{p+q}\Rightarrow pf(c)+qf(d)=(p+q)f(\xi ) \end{gathered}$$