目录

一、搜索二叉树的概念

二、搜索二叉树的基本结构 

 三、搜索二叉树的插入

四、搜索二叉树的查找

五 、搜索二叉树的删除

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一、搜索二叉树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树：

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
• 它的左右子树也分别为⼆叉搜索树
• 最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：O() 
• 最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为：O()
• 综合而言⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N) 

二、搜索二叉树的基本结构 

 搜索二叉树的结构跟二叉树差不多——两个指针来指向左右子树，一个对象来存放数据。

template<class K>
struct BSTNode
{
    K _key;
    BSTNode<K>* _left;
    BSTNode<K>* _right;

    BSTNode(const K& key)
    :_key(key)
    , _left(nullptr)
    , _right(nullptr)
    {}
};

template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K> Node;
public:
    ……
preivate:
    Node* _root = nullptr;
}

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 三、搜索二叉树的插入

1. 树为空树，new一个节点，然后赋值给_root。
2. 树不为空树，按⼆叉搜索树性质，插⼊值比当前结点大往右走，插⼊值比当前结点小往左走，找到空位置，插⼊新结点。

注：这里不考虑插入值与节点的值相等的情况。

bool Insert(const K& key)
{
    //当_root为空树
    if (_root == nullptr)
    {
        _root = new Node(key);
        return true;
    } 

    //当_root不为空树
    //创建一个parent节点来记录上一层的位置
    //创建一个cur节点来判断插入位置
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (cur->_key < key)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        } 
        else if (cur->_key > key)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        } 
        else
        {
            return false;
    }    
}

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四、搜索二叉树的查找

1. 从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。
2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。

bool Find(const K& key)
{
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (cur->_key < key)
        {
            cur = cur->_right;
        } 
            else if (cur->_key > key)
        {
            cur = cur->_left;
        } 
        else
        {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

 注：若支持插入相同的值，⼀般要求查找中序的第⼀个x，像下面这样↓，有多个值6，返回中序查找的第一个6。

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五 、搜索二叉树的删除

        搜索二叉树的删除就复杂多了，会有下面四种情况：

1. 要删除结点N左右孩子均为空。
2. 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空。
3. 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空。
4. 要删除的结点N左右孩子结点均不为空。

 对应以上四种情况的解决⽅案：

1. 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
2. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
3. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
4. 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满足⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

注(4)：这里使用找N左子树的值最大结点R(最右结点)

bool Erase(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	Node* prev = nullptr;

	while(cur)
	{ 
		if (key < cur->_key)
		{
			prev = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_key < key)
		{
			prev = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			//找到了
			//只有一边或没有子叶
			if (cur->_right == nullptr)
			{
				if (cur == _root)
				{
					_root = cur->_left;
				}
				else
				{
					if (prev->_right == cur)
					{
						prev->_right = cur->_left;
					}
					else
					{
						prev->_left = cur->_left;
					}
				}
				delete cur;

			}
			else if(cur->_left == nullptr)
			{
				if (cur == _root)
				{
					_root = cur->_right;
				}
				else
				{
					if (prev->_right == cur)
					{
						prev->_right = cur->_right;
					}
					else
					{
						prev->_left = cur->_right;
					}
				}
				delete cur;
			}
			else
			{
				//找到了有两个子叶
				Node* treep = cur;
				Node* treec = cur->_right;

				while (treec->_left)
				{
					treep = treec;
					treec = treec->_left;
				}

				cur->_key = treec->_key;


				if (treep->_left == treec)
					treep->_left = treec->_right;
				else
					treep->_right = treec->_right;
				delete treec;
			}
			return true;
		}
	}
	return false;
}