标题：[贪心+数学/数学+位运算] 两种方法O(1)解决 消减整数
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一、题目：消减整数(Newcoder)
二、题目分析
1.理解题意：
2.解决问题
解法详解一：贪心+数学
解法一参考代码：
解法详解二：数学+位运算
解法二参考代码：
正文开始：
前言：
本文是我在刷题的时候偶然遇到的算法题，对此题我有自己想出来的做法，可以达到O(1)时间复杂度，与常用的解法相比 方法比较巧妙，于是分享出来供参考学习，如果有错误，也欢迎不吝赐教。
一、题目：消减整数(Newcoder)
题号：NC219038
时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒
空间限制：C/C++ 262144K，其他语言524288K
64bit IO Format: %lld
题目描述
给出一个正整数H，从1开始减，第一次必须减1，每次减的数字都必须和上一次相同或者是上一次的两倍，请问最少需要几次能把H恰好减到0。
输入描述：
第一行给出一个正整数T， T >= 1 并且 T <= 10^4
接下来T行每行一个整数H, 满足 1≤H≤10^9
输出描述:
每行一个正整数代表最少的次数
示例1
输入
3（T） 接下来T行输入测试用例 3 5 7输出
2 3 3
二、题目分析
1.理解题意：
为了方便，我们只举一个例子：3
3第一次-1；得到2
第二次有两种选择：继续-1 或者 （减1的二倍）-2
如果选择-2，得到0，则最短路径就是2。
2.解决问题
在正式讲解可行的算法之前，先考虑暴力解法（因为可行解法往往是暴力解法的优化）：
对于一个数，每次要么-A，要么-2*A；（A是下一次需要减的数）
于是暴力解法就是对每一次减，都逝一逝（A和2*A）。这里我就不试了，为什么想必大家都知道。
复杂度：O（2^N）
解法详解一：贪心+数学
贪心：每次都减2*A，这样能减的更快，用的次数更少；但是不能保证正确性，比如下面的这个特例：
这就由于贪心而错失了正确答案。 正确的处理方法是在每次贪心之前，需要进行一步判断。
我们暂且称上述的贪心为短视的“简单贪心”。假设一个数，经过“简单贪心”刚好可以减到0：
这就意味着这个数一定 是2a的整数倍！！
那么就只需要在每次减之前，让这个数 % （2*A），如果等于0，这就意味着我们目前可以得正确的结果。意味着我们走在正确的二叉树分支上。意味着我们是在得到正确答案的基础上贪心！
解法一参考代码：
#include <iostream>
using namespace std;
int t, h;
int fun()
{
int ret = 0, a = 1;
while(h)
{
h -= a;
ret++;
if(h % (a * 2) == 0)
{
a *= 2;
}
}
return ret;
}
int main()
{
cin >> t;
while(t--)
{
cin >> h;
cout << fun() << endl;
}
return 0;
}解法详解二：数学+位运算
这个解法是我自己想到的解法。起初我想到位运算，因为每次减的数都是2的N次方，
（1,2,4,8,16....），于是我写出了下面的代码，并暗自得意这道题，也就不过如此嘛：
int cut_int(int n)
{
int ans = 0;
for(int i = 0;i < 32;++i)
{
if(((n >> i) & 1) == 1)
{
ans++;
}
}
return ans;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
int tem;
while(n--)
{
cin>>tem;
cout<<cut_int(tem)<<endl;
}
return 0;
}
但是提交后，我立刻发现了问题所在：2的倍数是一个次数一个次数加上去的，在合理的范围内，每一个2的次方数都至少要出现一次！
仅仅统计二进制1位的出现次数得出的是错误的答案！因为减的数字是从1开始的。不可能直接越过4而减去8/16/32.....
于是， 我们可以先预先算出2出现的最高次数N，再一次减去（2的次方项 1,2,4,8,16....），这样不就保证不会出现上述的越级的行为！！
对于2的次方项，我们可以通过等比数列前n项求和公式计算：
然后让目标数字num-(Sn),得到的剩下的数，不就直接可以通过统计二进制位的方式来计算减的次数了嘛！！
总结：记目标数A，2出现的最高次项N
由于减去的数字从1开始，以次乘二，所以减去的数中一定是依次增大的（1,2,4,8.）2的次方项一定会每个都至少出现一次！
我们通过一次操作：让目标数-（2的次方项1,2,4...直到最高次项N，这个过程等比数列求和计算），同时操作次数+N；从此我们就得到了新的目标数B，B就可以通过计算二进制位上1的个数来得到最终的答案。
解法二参考代码：
#include <iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int cut_int(int n)
{
int ans = 0;
int fn = 0;
for(int i = 1; pow(2,i) - 1 <= n;++i)
{
fn = i;
}
ans += fn;
n -= (pow(2,fn)-1);
for(int i = 0;i < 32;++i)
{
if(((n >> i) & 1) == 1)
{
ans++;
}
}
return ans;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
int tem;
while(n--)
{
cin>>tem;
cout<<cut_int(tem)<<endl;
}
return 0;
}
完~
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