拉格朗日插值

拉格朗日插值是一种用于在已知数据点之间进行插值的数学方法。它通过构造拉格朗日基多

项式来估计在这些已知点之间的值。该方法特别适合于需要通过一组离散数据点计算连续函

数值的情况。

拉格朗日插值的基本概念

已 知 数 据 点

·假设有$n+1$个已知数据点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$。

拉格朗日基多项式

·对于每一个数据点$(x_k,y_k)$,可以构造一个拉格朗日基多项式$L_k(x)$,其定义为：

$$L_k(x)=\prod _{\begin{array}{c}0\le j\le n\\ j\ne k\end{array}}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}$$

·这个多项式在$x=x_k$时为 1,而在其他已知点$x_j$ ($j\ne k)$时为0。

插值多项式

·拉格朗日插值多项式$P(x)$被定义为所有基多项式的加权和：

$$P(x)=\sum _{k=0}^n{y}_k{L}_k(x)$$

· 这个多项式在每个已知数据点处的值等于对应的$y_k$ 。

MATLAB源代码

% 拉格朗日插值示例

% 定义已知数据点
x = [1, 2, 3, 4]; % x坐标
y = [1, 4, 9, 16]; % y坐标（例如 y = x^2）


% 定义插值点
x_interp = linspace(1, 4, 100); % 在 [1, 4] 之间生成100个插值点

% 计算插值结果
y_interp = lagrangeInterpolation(x, y, x_interp);

% 绘图
figure;
plot(x, y, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'DisplayName', '已知数据点'); % 原始数据点
hold on;
plot(x_interp, y_interp, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '拉格朗日插值'); % 插值结果
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('拉格朗日插值法');
legend;
grid on;
hold off;% 定义插值函数


function L = lagrangeInterpolation(x, y, x_interp)
    n = length(x);
    L = zeros(size(x_interp));
    
    for k = 1:n
        % 计算拉格朗日基多项式
        L_k = ones(size(x_interp));
        for j = [1:k-1, k+1:n]
            L_k = L_k .* (x_interp - x(j)) / (x(k) - x(j));
        end
        L = L + y(k) * L_k; % 累加每个基多项式的贡献
    end
end

代码讲解

• 已知数据点定义：
  $x$ 和 $y$ 数组包含已知数据点的坐标。
• 插值函数：
  lagrangeInterpolation 函数实现拉格朗日插值。输入为已知数据点 x 和 y，以及插值点 x_interp。
  使用双重循环计算每个拉格朗日基多项式并累加其贡献。
• 插值点生成：
  使用 linspace 函数在给定区间内生成插值点。
• 计算插值结果：
  调用 lagrangeInterpolation 函数计算插值值 y_interp。
• 绘图：
  使用 plot 函数绘制已知数据点和插值结果，便于可视化。

运行结果

拉格朗日插值的特点（优缺点）

• 优点：
  概念简单，易于理解和实现。
  适合数据点数量较少的情况。
• 缺点：
  计算复杂度较高，尤其是当数据点数量增加时。
  可能会出现龙格现象，即在区间端点附近的插值误差增大。