一、二叉搜索树
1. 概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
int[] array = {5,3,4,1,7,8,2,6,0,9}; 2. 查找
3. 插入
1. 如果树为空树，即根 == null，直接插入
2. 如果树不是空树，按照查找逻辑确定插入位置，插入新结点
4. 删除
设待删除结点为 cur，待删除结点的双亲结点为 parent 。
1. cur.left == null
- cur 是 root，则 root = cur.right
- cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.right
- cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.right
2. cur.right == null
- cur 是 root，则 root = cur.left
- cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.left
- cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.left
3. cur.left != null && cur.right != null
- 需要使用替换法进行删除，即在 cur 的右子树中寻找中序遍历的下一个结点 temp (也就是cur右子树中最左下的节点) 以及该节点的前驱 pre，用 temp 的值填补到被删除节点 cur 中，即cur.val = temp.val; 再来处理 temp 结点的删除问题。注意：最终找到的 temp 节点的值一定是 cur 的右子树中值最小的，且一定有 temp.left = null。
- 当 temp 节点就是 cur.right 时，此时一定是 tpre = cur，则让 tpre.right = temp.right;
- 当 temp 节点是 cur.right，然后再一直往左走时，直到走到最左端，则让 tpre.left = temp.right 。
5. 代码实现
public class BinarySearchTree {
public class TreeNode{
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public int val;
public TreeNode(int val) {
this.val = val;
}
}
public TreeNode root = null;
//查找
public TreeNode search(int key){
if(root == null){
return null;
}
TreeNode cur = root;
while (cur != null){
if (cur.val > key){
cur = cur.left;
}else if(cur.val < key){
cur = cur.right;
}else {
return cur;
}
}
return null;
}
//插入
public boolean insert(int key){
TreeNode node = new TreeNode(key);
if(root == null){
root = node;
return true;
}
TreeNode prev,cur;
prev = root;
cur = root;
while (cur != null){
if(cur.val > key){
prev = cur;
cur = cur.left;
}else if(cur.val < key){
prev = cur;
cur = cur.right;
}else {
return false;
}
}
if(prev.val > key){
prev.left = node;
}else {
prev.right = node;
}
return true;
}
//删除
public boolean remove(int key){
TreeNode cur = root;
TreeNode parent = root;
while (cur != null){
if (cur.val > key){
parent = cur;
cur = cur.left;
}else if(cur.val < key){
parent = cur;
cur = cur.right;
}else {
removeNode(parent,cur);
return true;
}
}
return false ;
}
private void removeNode(TreeNode parent, TreeNode cur){
if(cur.left == null){ // cur左右孩子都为null的情况也会默认在次处理。
if(cur == root){
root = root.right;
}else if(parent.left == cur){
parent.left = cur.right;
}else{
parent.right = cur.right;
}
}else if(cur.right == null){
if(cur == root){
root = root.left;
}else if(parent.left == cur){
parent.left = cur.left;
}else{
parent.right = cur.left;
}
}else { // 左右孩子都不为null。
if (cur == root){
root = null;
}
// 用temp找到cur右子树中最左下的节点。
// 两种情况：1.当cur.right没有左子树时，cur右子树中最左下的节点是cur.right;
// 2.当cur.right有左子树时,cur右子树中最左下的节点是cur.right, 然后一直往左走。
TreeNode temp = cur.right;
TreeNode tprev = cur;
while (temp.left != null){
tprev = temp;
temp = temp.left;
}
cur.val = temp.val;
if(tprev.left == temp){
tprev.left = temp.right;
}else{
tprev.right = temp.right;
}
}
}
//中序遍历
public void inOrder(TreeNode root){
if (root == null){
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val + " ");
inOrder(root.right);
}
}6. 性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度 的函数，即结点越深，则比较次数越多。 但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为：
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为：
问题：如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进，不论按照什么次序插入关键码，都可以是二叉搜索树的性能最佳？
答：为了避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，规定在插入和删除结点时，要保证任意结点的左、右子树高度差的绝对值不超过1，将这样的二叉树称为平衡二叉树(BalancedBinary Tree)，也称 AVL树。定义结点左子树与右子树的高度差为该结点的平衡因子，则平衡二叉树结点的平衡因子的值只可能是-1、0或1。
7. 平衡二叉树
7.1 定义
平衡二叉树可定义为或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度差的绝对值不超过 1。
7.2 调整
平衡二叉树的调整。
8. 和 Java 类集的关系
TreeMap 和 TreeSet 即 Java 中利用搜索树实现的 Map 和 Set；实际上用的是红黑树，而红黑树是一棵近似平衡的二叉搜索树，即在二叉搜索树的基础之上 + 颜色以及红黑树性质验证。
二、搜索
1. 概念及场景
