647. 回文子串
先引出力扣链接
给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。
示例 1：
输入："abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"
示例 2：
输入："aaa"
输出：6
解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"
提示：输入的字符串长度不会超过 1000 。
动态规划做法：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
如果大家做了很多这种子序列相关的题目，在定义dp数组的时候 很自然就会想题目求什么，我们就如何定义dp数组。
绝大多数题目确实是这样，不过本题如果我们定义，dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。
dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。
所以我们要看回文串的性质。 如图：
我们在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。
那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串下标范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下标范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。
所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。
布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
2.确定递推公式
在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。
整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。
当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。
当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
result++;
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
result就是统计回文子串的数量。
注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。
3.dp数组如何初始化
dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。
所以dp[i][j]初始化为false。
4.确定遍历顺序
遍历顺序可有有点讲究了。
首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。
dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：
如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。
所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
代码如下：
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
result++;
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
}
}
5.举例推导dp数组
举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：
图中有6个true，所以就是有6个回文子串。
注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。
以上分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
int result = 0;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
result++;
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
}
}
return result;
}
};
以上代码是为了凸显情况一二三，当然是可以简洁一下的，如下：
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
int result = 0;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
}
return result;
}
};
6.最终代码
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
int len=s.length();
boolean[][] dp=new boolean[len][len];
int result=0;
for (int i = len-1; i >=0; i--) {
for (int j = i; j <len ; j++) {
if(j==i){
dp[i][j]=true;
result++;
} else if (j-i==1) {
if(s.charAt(i)==s.charAt(j)){
dp[i][j]=true;
result++;
}
}else{
if(dp[i+1][j-1]&&s.charAt(i)==s.charAt(j)){
dp[i][j]=true;
result++;
}
}
}
}
return result;
}
}
类似题目
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输出描述:
输出输入字符串中所包含的最长回文01子串的长度。
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner=new Scanner(System.in);
String s = scanner.nextLine();
// 0 表示不是回文子串
// 1 表示是回文子串，但均为0
// 2 表示是回文子串，但均为1
// 3 表示是回文子串，并且含有0和1
int len=s.length();
int maxLen=0;
int[][] dp=new int[len][len];
for (int i = len-1; i >=0 ; i--) {
for (int j = i; j <len ; j++) {
if(j==i){
if(s.charAt(i)=='0'){
dp[i][j]=1;
}else{
dp[i][j]=2;
}
} else if (j-i==1) {
if(s.charAt(i)==s.charAt(j)){
if(s.charAt(i)=='0'){
dp[i][j]=1;
}else{
dp[i][j]=2;
}
}
}else {
if(s.charAt(i)==s.charAt(j)){
if(s.charAt(i)=='0'&&dp[i+1][j-1]==2){
dp[i][j]=3;
maxLen= Math.max(maxLen,j-i+1);
} else if (s.charAt(i)=='0'&&dp[i+1][j-1]==1) {
dp[i][j]=1;
}else if (s.charAt(i)=='1'&&dp[i+1][j-1]==1){
dp[i][j]=3;
maxLen= Math.max(maxLen,j-i+1);
} else if (s.charAt(i)=='1'&&dp[i+1][j-1]==2) {
dp[i][j]=2;
} else if (dp[i + 1][j - 1] == 3) {
dp[i][j]=3;
maxLen= Math.max(maxLen,j-i+1);
}
}
}
}
}
System.out.println(maxLen);
}
}
2.力扣第5题-最长回文子串
给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。
class Solution {
public String longestPalindrome(String s) {
boolean[][] dp=new boolean[s.length()][s.length()];
int res=1;
int left=0;
int right=0;
for (int i = s.length()-1; i >=0 ; i--) {
for (int j = i; j < s.length(); j++) {
if(s.charAt(i)==s.charAt(j)){
if (j-i<=1){
if(j-i+1>res){
res=j-i+1;
left=i;
right=j;
}
dp[i][j]=true;
} else if (dp[i+1][j-1]) {
dp[i][j]=true;
if(j-i+1>res){
res=j-i+1;
left=i;
right=j;
}
}
}
}
}
return s.substring(left,right+1);
}
}
