概述

数列是一种特殊数组。之前写过等比、等差数列、斐波那契等数列的求取函数。今天就汇总到一起，并添加其他的一些数列，比如平方数、立方数、三角形数等。

这里我首先采用以前比较喜欢的静态函数库的写法，然后在其基础上改进为基于类继承的类型体系。

等差数列和等比数列的名称

等差数列被称为算术级数（Arithmetic Sequence），因为它们的每一项是相邻两项的算术平均数（Arithmetic mean）。

等比数列被称为几何级数（Geometric Sequence），因为它们的每一项是相邻两项的几何平均数（Geometric mean)。

a,b的算数平均数$x=\frac{a+b}{2}$，等差数列$a_n=\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2}$ ，所以等差数列又叫做算数级数。

a,b的几何平均数$x=\sqrt{ab}$，等比数列$a_n=\sqrt{a_{n+1}{a}_{n-1}}$ ，所以等差数列又叫做几何级数。

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在函数库和类中，我使用拼音dengbi和dengcha表示等比和等差数列，感觉比使用英文要更适合像我这样的“中国宝宝”体质。毕竟代码是拿来用的，让自己更容易理解更重要一些。

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形数

通过观察几何图形（2D或3D）堆金字塔的形式，可以获得一类特殊数列，叫做形数。

三角形数就是最简单的形数，它对应于台球或保龄球的摆法。

可以很容易的得出它的规律：$a_n=1+2+3..+n$，也就是前n项自然数之和。

也可以看做是$a_n=\frac{n\times (n+1)}{2}$。

平方数

$a_n=a^2$被称为平方数,$1^2,2^2,3^2\dots n^2$，也就是:$1,4,9,16,25\dots$

观察每一项与前一项的差，就可以发现：后一项与前一项的差为$3、5、7、9\dots$，加上第一项1，就是奇数。

通过几何形式表示：

就可以发现一个规律：前n个奇数的和，等于$n^2$。

四面体数

将之前三角形数扩展到三维，就是四面体数。

其规律是：$1+3+6+10+15...$，也就是前n个三角形数之和。

函数库代码

# ========================================================
# 名称：NumList
# 类型：静态函数库
# 简介：提供求常见数列前n项的函数
# 作者：巽星石
# Godot版本：v4.2.2.stable.official [15073afe3]
# 创建时间：2024年9月23日14:38:51
# 最后修改时间：2024年9月23日15:11:10
# ========================================================
class_name NumList
	
# 等比数列
# 返回前n项
static func dengbi(a1:int,bi:int,n:int) -> PackedInt32Array:
	var arr:PackedInt32Array
	arr.append(a1)        # 第一项
	for i in range(1,n):
		var an = arr[arr.size()-1]  # 上一项
		arr.append(an * bi)
	return arr
	
# 等差数列
# 返回前n项
static func dengcha(a1:int,cha:int,n:int) -> PackedInt32Array:
	var arr:PackedInt32Array
	arr.append(a1)        # 第一项
	for i in range(1,n):
		var an = arr[arr.size()-1]  # 上一项
		arr.append(an + cha)
	return arr
	
# 斐波那契数列
# 返回前n项
static func fbnq(n:int) -> PackedInt32Array:
	var arr:PackedInt32Array
	arr.append(1)        # 第一项
	for i in range(n-1):
		var an = arr[arr.size()-2] + arr[arr.size()-1] if i>0 else 1
		arr.append(an)
	return arr
	
# 平方数
# 返回从start开始的n项
static func square(start:int,n:int) -> PackedInt32Array:
	var arr:PackedInt32Array
	for i in range(n):
		var an = pow(start+i,2) 
		arr.append(an)
	return arr

# 立方数
# 返回从start开始的n项
static func cubic(start:int,n:int) -> PackedInt32Array:
	var arr:PackedInt32Array
	for i in range(n):
		var an = pow(start+i,3) 
		arr.append(an)
	return arr

# 三角形数
# xn = n(n+1)/2
# 返回从start开始的n项
static func triangular_num(start:int,n:int) -> PackedInt32Array:
	var arr:PackedInt32Array
	for i in range(n):
		var a = start+i
		var an = (a * (a+1))/2
		arr.append(an)
	return arr

类型化改造

# ========================================================
# 名称：NumList
# 类型：类
# 简介：提供常见数列类型
# 作者：巽星石
# Godot版本：v4.3.stable.steam [77dcf97d8]
# 创建时间：2024年9月23日14:38:51
# 最后修改时间：2024年9月23日16:19:39
# ========================================================
class_name NumList

# 获取第n项
func get_item(n:int):
	pass

# 获取从start开始的count项
func get_items(start:int,count:int) -> PackedInt32Array:
	var arr:PackedInt32Array
	for i in range(1,count+1):
		arr.append(get_item(start + i - 1))
	return arr

# 获取从start开始的count项和
func get_sum(start:int,count:int) -> int:
	var sum:int
	for i in range(1,count+1):
		sum += get_item(start + i - 1)
	return sum

# =============================== 等比数列 ===============================
# # a_n = a_1 * bi^{n-1}
class dengbi extends NumList:
	var a1:int   # 第一项
	var bi:int   # 公比
	
	func _init(a1:int,bi:int) -> void:
		self.a1 = a1
		self.bi = bi
	
	# 获取第n项
	func get_item(n:int):
		return a1 * pow(bi,n-1)

# =============================== 等差数列 ===============================
# a_n = a_1 + (n-1) * cha
class dengcha extends NumList:
	var a1:int   # 第一项
	var cha:int  # 公差
	
	func _init(a1:int,cha:int) -> void:
		self.a1 = a1
		self.cha = cha
	
	# 获取第n项
	func get_item(n:int):
		return a1 + (n-1) * cha

# =============================== 斐波那契数列 ===============================
# n_1 = n_2 = 1
# x_n = x_{n-1} + x_{n-2}
class fbnq extends NumList:
	# 获取第n项
	func get_item(n:int):
		if n in [1,2]:
			return 1
		else:
			return get_item(n-1) + get_item(n-2)

# =============================== 平方数数列 ===============================
# x_n = n^2
class square extends NumList:
	# 获取第n项
	func get_item(n:int):
		return pow(n,2) 

# =============================== 立方数数列 ===============================
# x_n = n^3
class cubic extends NumList:
	# 获取第n项
	func get_item(n:int):
		return pow(n,3) 

# =============================== 三角形数 ===============================
# x_n = n(n+1)/2
class triangular_num extends NumList:
	# 获取第n项
	func get_item(n:int):
		return (n * (n+1)) / 2

可以看到，用类继承的形式，扩充新的数列类型，基本上只需要设定自己的一两个参数，并重写get_item()方法就可以了。而求前N项以及前N项和这样的，根本不需要重写。

测试：

@tool
extends EditorScript

func _run():
	var numlist = NumList.dengbi.new(2,2)
	print(numlist.get_item(3))      # 第3项
	print(numlist.get_items(3,6))   # 第3项开始的6项
	print(numlist.get_sum(0,6))     # 前6项和

输出：

8
[8, 16, 32, 64, 128, 256]
64

等差数列：

var numlist = NumList.dengcha.new(2,2)

输出：

6
[2, 4, 6, 8, 10, 12]
42

斐波那契数列：

var numlist = NumList.fbnq.new()

2
[1, 1, 2, 3, 5, 8]
20

平方数：

var numlist = NumList.square.new()

9
[1, 4, 9, 16, 25, 36]
91

立方数：

var numlist = NumList.cubic.new()

27
[1, 8, 27, 64, 125, 216]
441

三角形数：

var numlist = NumList.triangular_num.new()

6
[1, 3, 6, 10, 15, 21]
56