【有啥问啥】多臂老虎机（Multi-Armed Bandit，MAB）算法详解

MAB

多臂老虎机（Multi-Armed Bandit，MAB）算法详解

1. 引言

多臂老虎机（Multi-Armed Bandit，MAB）问题源自概率论和决策论，是一个经典的决策优化问题。最早提出的形式是赌场中的老虎机问题：一个玩家面对多台老虎机（即“多臂老虎机”），每台老虎机的回报率（奖励分布）是未知的。玩家需要决定如何分配有限的资源（如投币次数）在这些老虎机之间，以最大化总回报。

多臂老虎机问题的核心挑战在于如何在“探索”（尝试不同的老虎机以获取更多信息）和“利用”（使用当前认为最优的老虎机获取回报）之间权衡。这个问题在现代机器学习和人工智能中有着广泛的应用，比如在线广告推荐、A/B 测试和个性化推荐系统。

2. 问题定义

假设我们面对 $K$ 台老虎机，每台老虎机的奖励分布都是未知的。目标是通过多个回合的选择，最大化累计奖励。具体定义如下：

$K$ 台老虎机，各自的奖励分布为 $r_1, r_2, \dots, r_K$ 。这些分布可以是二项分布、正态分布或其他。
每轮玩家可以选择一台老虎机进行尝试，获得奖励 $r_i$ ，其中 $r_i$ 来自老虎机 $i$ 的奖励分布。
目标是找到最优策略 $\pi$ ，在有限的尝试次数内最大化累计奖励。

2.1 奖励分布

奖励分布是多臂老虎机问题中的关键因素。常见的奖励分布包括二项分布（用于模拟二值奖励，如广告点击与否）、正态分布（用于模拟连续奖励，如销售额）等。不同的奖励分布会影响算法的性能和选择策略。

2.2 累积后悔（Cumulative Regret）

在多臂老虎机问题中，通常引入“后悔”这一概念，用来衡量探索与利用的效率。假设每次选择最优的老虎机可以获得的奖励是 $r^*$ ，则在时间步 $t$ 的后悔为：

$R_t = r^* - r_{\pi(t)}$

其中 $r_{\pi(t)}$ 为选择的老虎机在 $t$ 时获得的奖励。累积后悔 $R (T)$ 定义为在时间 $T$ 内的总和：

$\sum_{t=1}^T \left( r^* - r_{\pi(t)} \right)$

最优的策略应当最小化累积后悔。

3. 主要挑战：探索与利用的平衡

多臂老虎机问题的主要难点在于“探索与利用”（exploration vs. exploitation）的平衡：

探索（Exploration）：玩家需要对尚不确定的老虎机进行尝试，以获取更多的信息，识别最优老虎机。
利用（Exploitation）：一旦找到看似最优的老虎机，玩家应最大化其回报，避免浪费资源在次优选择上。

3.1 探索的必要性

如果完全利用现有信息，可能永远不会发现潜在更优的选择，导致长期回报的损失。若过度探索，又会减少对已知高回报选择的利用。因此，设计合理的算法以平衡这两者，是该问题的核心挑战。

4. 经典算法

4.1 ε-贪婪算法 (ε-Greedy Algorithm)

ε-贪婪算法是解决探索与利用平衡问题的一种简单但有效的方法。核心思想是：

以概率 $\epsilon$ 选择当前认为最优的老虎机（利用阶段）。
以概率 $\epsilon$ 随机选择任意一台老虎机进行探索。

在初期， $\epsilon$ 通常较大，以促进探索；随着时间推移， $\epsilon$ 可以逐渐减小，以增加对最优解的利用。

举个栗子：
假设你面前有三台老虎机，你不知道哪一台能带来最大的奖励，但根据历史数据，你知道其中某一台通常能提供更高的奖励。使用ε-贪婪算法，你会经常玩你认为表现最好的那台老虎机（贪婪选择），但同时也会偶尔尝试其他两台老虎机（随机探索）。这样做是为了避免因为过于贪心而选择次优解，从而有机会发现更好的奖励来源。

代码示例：

import numpy as np

class EpsilonGreedy:
    def __init__(self, n_arms, epsilon):
        self.n_arms = n_arms
        self.epsilon = epsilon
        self.counts = np.zeros(n_arms)
        self.values = np.zeros(n_arms)

    def select_arm(self):
        if np.random.rand() > self.epsilon:
            return np.argmax(self.values)
        else:
            return np.random.randint(0, self.n_arms)

    def update(self, chosen_arm, reward):
        self.counts[chosen_arm] += 1
        n = self.counts[chosen_arm]
        value = self.values[chosen_arm]
        self.values[chosen_arm] = ((n - 1) / n) * value + (1 / n) * reward

4.2 上置信界算法（UCB1）

上置信界（Upper Confidence Bound, UCB）算法是一种具理论保证的多臂老虎机算法，采用“乐观面对未知”的策略。它不仅考虑当前的平均回报，还通过公式引入不确定性的估计。公式如下：

$A_t = \arg\max_{i} \left( \hat{\mu_i} + \sqrt{\frac{2 \log t}{n_i}} \right)$

其中：

$\hat{\mu_i}$ 是老虎机 $i$ 的平均回报。
$t$ 是当前的时间步。
$n_i$ 是老虎机 $i$ 被选择的次数。

UCB1 在理论上对探索与利用的平衡做了合理估计，具有较好的累积后悔上界。

举个栗子：
继续使用老虎机的例子，UCB算法会考虑每个老虎机带来的平均奖励以及其不确定性。它不仅会看当前已知的最好表现的老虎机，还会考虑其他老虎机可能提供的更高奖励的潜力。这种策略在探索和利用之间找到了一个更精细的平衡，尤其是在面对多个相似表现的老虎机时。

代码示例：

class UCB1:
    def __init__(self, n_arms):
        self.n_arms = n_arms
        self.counts = np.zeros(n_arms)
        self.values = np.zeros(n_arms)

    def select_arm(self):
        total_counts = np.sum(self.counts)
        if 0 in self.counts:
            return np.argmin(self.counts)
        ucb_values = self.values + np.sqrt(2 * np.log(total_counts) / self.counts)
        return np.argmax(ucb_values)

    def update(self, chosen_arm, reward):
        self.counts[chosen_arm] += 1
        n = self.counts[chosen_arm]
        value = self.values[chosen_arm]
        self.values[chosen_arm] = ((n - 1) / n) * value + (1 / n) * reward

4.3 汤普森采样（Thompson Sampling）

汤普森采样是一种基于贝叶斯推断的方法，它通过对每个老虎机的奖励分布进行采样来选择动作。该算法对每个老虎机维护一个奖励分布的贝叶斯后验概率，每次从这些分布中采样，并选择回报率最高的老虎机。

举个栗子：
想象你正在玩三台老虎机，每台老虎机的奖励都遵循一定的概率分布。Thompson采样会根据这些分布的历史信息来决定如何平衡探索和利用。具体来说，它会根据每台老虎机的历史数据和当前信念进行采样，并基于采样的结果来选择下一步要玩的老虎机。这种方式能够在连续的实验中自适应地调整其信念，并在探索和利用之间保持灵活平衡。

代码示例：

class ThompsonSampling:
    def __init__(

self, n_arms):
        self.n_arms = n_arms
        self.successes = np.zeros(n_arms)
        self.failures = np.zeros(n_arms)

    def select_arm(self):
        samples = [np.random.beta(self.successes[i] + 1, self.failures[i] + 1) for i in range(self.n_arms)]
        return np.argmax(samples)

    def update(self, chosen_arm, reward):
        if reward == 1:
            self.successes[chosen_arm] += 1
        else:
            self.failures[chosen_arm] += 1

5. 现实应用场景

在线广告推荐：在广告推荐中，多臂老虎机算法可以用来优化广告展示策略。不同的广告对应着不同的点击率（奖励分布），而推荐系统需要不断调整展示的广告组合，以获得更高的点击率。
A/B 测试：多臂老虎机问题在 A/B 测试中的应用尤为广泛。在测试不同版本的网站、APP 或产品特性时，如何平衡对新版本的探索与已有版本的利用，是一个典型的多臂老虎机问题。
医疗试验：在医疗领域，特别是药物试验中，多臂老虎机算法可以帮助研究人员在探索不同治疗方法（不同的“老虎机”）的同时，尽可能提高患者的治疗效果（最大化“奖励”）。通过平衡不同治疗方法的探索和有效治疗的利用，能使更多患者在试验中获得最优疗效，同时加速找到最佳治疗方案。
推荐系统个性化：在个性化推荐中，多臂老虎机算法能够动态调整推荐策略，以更好地满足用户的偏好。例如，视频流媒体平台可以使用该算法在推荐内容时平衡探索新的视频类别与继续推荐用户喜好的内容之间的关系。
金融投资组合管理：在投资决策中，多臂老虎机算法可以帮助投资者在未知风险的情况下进行不同资产的投资组合选择，逐步优化收益率。探索不同的投资组合以识别最优投资策略，同时有效利用已有的信息最大化收益，是该算法的典型应用。