直线与二元一次方程

两直线夹角

• $两直线y_1=k_{1}x+b_1,y_2=k_{2}x+b_2形成夹角a1和a2，两个角都可作为夹角，取其即可，但通常来说，取正值的角a1$
  

  $如上图所示:a1+(-a2)=\pi ,b+a1=a2,a1=a2-b$

• $tg(a2)=tg(a1\pm \pi )=tg(a1)$

• $tg(a)=\frac{k_2-k_1}{1+k_2{k}_1}$

• 两直线的夹角问题是解析几何中的一个基本问题。
  为了求解两直线的夹角，我们首先需要明确两直线的方程，并转化为斜截式或一般式。然后，我们可以利用直线的斜率（如果存在）或方向向量的夹角来求解。

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方法一：利用斜率（当直线斜率存在时）

假设两直线的方程分别为： $$y=k_{1}x+b_1$$ $$y=k_{2}x+b_2$$ 其中，$k_1$ 和
$k_2$ 是两直线的斜率，$b_1$ 和 $b_2$ 是截距。

1. 计算斜率差： 斜率差 $\Delta k=k_2-k_1$。

2. 利用斜率计算夹角： 两直线的夹角 $\theta$ 可以通过以下公式计算（注意，这里计算的是锐角或直角，如果需要钝角，则取补角）： $$\tan \theta =\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}\right|$$ 然后，利用反正切函数 $\arctan$ 求出
   $\theta$ 的值（注意，$\arctan$ 的值域是 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$，因此可能需要调整结果以匹配实际情况）。

   如果 $\theta$ 是以度为单位，可以使用 $\theta =\text{degrees}(\arctan (\cdots ))$
   进行转换。

方法二：利用方向向量（当直线方程为一般式时）

如果直线方程为一般式 $Ax+By+C=0$，则直线的方向向量可以由系数 $A$ 和 $B$ 决定，即 $\vec{v}=(B,-A)$（注意，这里的方向向量不是唯一的，因为任何非零标量倍数的向量都表示相同的方向）。

1. 求两直线的方向向量： 假设两直线的方程分别为 $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ 和 $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$，则它们的方向向量分别为 $\overrightarrow{v_1}=(B_1,-A_1)$ 和 $\overrightarrow{v_2}=(B_2,-A_2)$。

2. 计算两向量的点积和模长： 点积 $\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}=B_1{B}_2+(-A_1)(-A_2)=A_1{A}_2+B_1{B}_2$。 模长 $|\overrightarrow{v_1}|=\sqrt{A_1^2+B_1^2}$，$|\overrightarrow{v_2}|=\sqrt{A_2^2+B_2^2}$。

3. 利用夹角公式： 两向量的夹角 $\theta$ 可以通过以下公式计算： $$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}}{|\overrightarrow{v_1}|\cdot |\overrightarrow{v_2}|}=\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$$
   然后，利用反余弦函数 $\arccos$ 求出 $\theta$ 的值。

注意

• 当直线垂直于x轴时，斜率不存在，此时应直接利用方向向量或直线的特殊性质求解。
• 夹角 $\theta$ 的取值范围通常是 $[0,\frac{\pi }{2}]$，但根据题目要求，可能需要考虑钝角的情况。
• 在实际应用中，可能需要根据具体情况选择最合适的方法。

• 两直线$y_1=8x+9与y_2=-3x-5的交角a=?$
  $$\begin{gathered} k_1=8,k_2=-3 \\ tg(a)=\frac{k_2-k_1}{1+k_2{k}_1} \\ =\frac{-3-8}{1+(-3\times 8)} \\ =\frac{-11}{1-24}=\frac{11}{23} \end{gathered}$$

# 计算11/23的反正切值，并将结果从弧度转换为度  
x = 11/23 
y_rad = atan(x)  
y_deg = rad2deg(y_rad)  
  
println("The arctan of ", x, " in radians is ", y_rad)  
println("The arctan of ", x, " in degrees is ", y_deg)

The arctan of 0.4782608695652174 in radians is 0.44610554894340365
The arctan of 0.4782608695652174 in degrees is 25.559965171823812
 *  Terminal will be reused by tasks, press any key to close it. 

$a=25.56^{\circ }$

• 两直线$y_1=-8x+9与y_2=3x-5的交角a=?$
  $$\begin{gathered} k_1=-8,k_2=3 \\ tg(a)=\frac{k_2-k_1}{1+k_2{k}_1} \\ =\frac{3+8}{1+3\times (-8)} \\ =\frac{11}{1-24}=-\frac{11}{23} \\ arctan(-11/23)=-0.45 \end{gathered}$$

# 计算-11/23的反正切值，并将结果从弧度转换为度  
x =-11/23 
y_rad = atan(x)  
y_deg = rad2deg(y_rad)  
  
println("The arctan of ", x, " in radians is ", y_rad)  
println("The arctan of ", x, " in degrees is ", y_deg)

The arctan of -0.4782608695652174 in radians is -0.44610554894340365
The arctan of -0.4782608695652174 in degrees is -25.559965171823812

$a1+(-a2)=\pi ,a1-(-25.56)=180,a1=154.44^{\circ }$

直线方程

斜率

• $直线对于x轴的倾角，平行于x轴，倾角为0，0\le a<\pi$
  
• 斜率
  斜率，在数学中，特别是解析几何中，是一个非常重要的概念。它描述了直线上任意两点间纵坐标差与横坐标差之间的比值，也可以理解为直线倾斜的程度。

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定义

对于直线上的任意两点 $P_1(x_1,y_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$（其中 $x_1\ne x_2$），直线的斜率
$k$ 定义为：

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

这个公式告诉我们，斜率 $k$ 是直线上升（或下降）的“速度”或“比率”。

性质

1. 斜率与倾斜角：斜率 $k$ 与直线向上的倾斜角 $\alpha$ 的关系是 $k=\tan (\alpha )$，其中 $\alpha \in [0,\pi )$。
2. 斜率与直线方向：
   • 当 $k>0$ 时，直线从左下方向右上方倾斜。
   • 当 $k<0$ 时，直线从左上方向右下方倾斜。
   • 当 $k=0$ 时，直线与x轴平行或重合。
   • 当 $k$ 不存在（即 $x_1=x_2$）时，直线与y轴平行或重合。
3. 斜率与垂直：如果两条直线的斜率分别为 $k_1$ 和 $k_2$，且 $k_1\times k_2=-1$，则这两条直线垂直。 应用

斜率在日常生活和工程中有广泛的应用，如：

• 在地图和导航中，斜率可以帮助我们理解地形的起伏。
• 在建筑和土木工程中，斜率用于计算斜坡的稳定性和设计排水系统。
• 在经济学中，斜率用于分析供需曲线和边际效用等概念。

示例

考虑直线上的两点 $A(1,2)$ 和 $B(4,6)$，求这条直线的斜率。

解：根据斜率的定义，有

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6-2}{4-1}=\frac{4}{3}$$

所以，这条直线的斜率为 $\frac{4}{3}$。

• 斜率方程
  斜率作为数学中的一个重要概念，主要用于描述直线或曲线的倾斜程度。
  斜率有多种表示方法，以下是一些常见的斜率方程和公式：

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1. 两点式斜率公式

对于直线上的两点 $P_1(x_1,y_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$（且 $x_1\ne x_2$），直线的斜率 $k$
可以用以下公式表示：

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

这个公式直接通过两点间的纵坐标差与横坐标差来计算斜率，是最基本的斜率计算方法。

2. 斜截式方程

对于一条不垂直于x轴的直线，如果已知其斜率 $k$ 和在y轴上的截距 $b$，则该直线可以表示为斜截式方程：

$$y=kx+b$$

其中，$k$ 就是直线的斜率。

3. 点斜式方程

如果已知直线上的一点 $P(x_0,y_0)$ 和直线的斜率 $k$，则该直线可以表示为点斜式方程：

$$y-y_0=k(x-x_0)$$

这个方程通过点和斜率来确定直线的位置。

4. 一般式方程中的斜率

对于直线的一般式方程 $Ax+By+C=0$（其中 $A,B$ 不同时为0），直线的斜率 $k$ 可以用以下公式表示：

$$k=-\frac{A}{B}$$

这个公式通过直线的一般式方程来求解斜率。注意，当 $B=0$ 时，直线垂直于x轴，此时斜率不存在。

5. 斜率与倾斜角的关系

斜率 $k$ 与直线向上的倾斜角 $\alpha$（其中 $\alpha \in [0,\pi )$）的关系是 $k=\tan (\alpha )$。这个关系建立了斜率与直线倾斜角之间的直接联系。

总结

斜率是描述直线或曲线倾斜程度的重要参数，在解析几何中有多种表示方法。常见的斜率方程包括两点式斜率公式、斜截式方程、点斜式方程以及一般式方程中的斜率表示。此外，斜率还与直线的倾斜角有直接的数学关系。

两点式方程

两点式方程，也称为两点式直线方程，是描述一条直线通过两个已知点 $P_1(x_1,y_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$（且 $x_1\ne x_2$）的方程。这个方程直接由两点的坐标和直线的斜率得出，但更常见的形式是直接从两点坐标出发，避免显式地计算斜率。

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两点式方程可以表示为：

$$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$

这个方程表示的是，对于直线上的任意一点 $(x,y)$，其坐标 $(x,y)$ 与已知点 $P_1(x_1,y_1)$ 和
$P_2(x_2,y_2)$
的坐标之间的关系。这个方程实际上是通过斜率相等（即两点间纵坐标差与横坐标差之比相等）来定义的，但在这里我们直接使用了坐标来表示。

注意，当 $x_1=x_2$ 时，即两点横坐标相同，直线垂直于x轴，此时方程不适用（因为分母会为零），而应该直接写出 $x=x_1$（或 $x=x_2$）作为直线的方程。

另外，虽然两点式方程在形式上与斜率公式有些相似，但它更侧重于通过两个点的坐标来直接描述直线，而无需显式地计算出斜率。在实际应用中，如果已知直线上的两个点，使用两点式方程可以非常方便地表示出这条直线。

截距式方程

截距式方程是直线方程的一种形式，它特别适用于描述一条直线与坐标轴的交点（即截距）已知的情况。

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对于一条直线，如果它在x轴上的截距为$a$（即直线与x轴交于点$(a,0)$），在y轴上的截距为$b$（即直线与y轴交于点$(0,b)$），且$a\ne 0$，$b\ne 0$，则这条直线的截距式方程可以表示为：

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$

这个方程表示的是，对于直线上的任意一点$(x,y)$，其横坐标$x$与$a$的比值加上纵坐标$y$与$b$的比值等于1。

需要注意的是，当直线与x轴或y轴平行时，截距式方程可能不适用。具体来说：

• 如果直线与x轴平行（即斜率为0），则$b$为无穷大，此时方程不适用，而应该直接写出$y=c$（其中$c$为常数）的形式。
• 如果直线与y轴平行（即斜率不存在），则$a$为0，此时方程同样不适用，而应该直接写出$x=d$（其中$d$为常数）的形式。

但在实际应用中，我们通常会避免使用截距式方程来描述与坐标轴平行的直线，而是直接采用斜截式（$y=mx+b$，其中$m$为斜率，$b$为y轴截距）或点斜式（$y-y_1=m(x-x_1)$，其中$(x_1,y_1)$为直线上一点，$m$为斜率）等其他形式。

另外，如果直线过原点（即与两坐标轴的截距都为0），则截距式方程也不适用，此时应直接写出$y=kx$（其中$k$为斜率）的形式。但需要注意的是，在原点处，截距式方程$\frac{x}{0}+\frac{y}{0}=1$是无意义的，因此不能用于描述过原点的直线。

• 例题

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以下是一些关于截距式方程的例题及其解答：

例题1 已知直线与x轴的交点为$(3,0)$，与y轴的交点为$(0,4)$，求该直线的截距式方程。

解答： 根据截距式方程的定义，直接写出： $$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$$

例题2 已知直线在x轴和y轴上的截距分别为$-2$和$5$，求该直线的截距式方程。

解答： 注意截距可以是负数，所以直接写出： $$\frac{x}{-2}+\frac{y}{5}=1$$通常我们保留原始形式，即： $$\frac{x}{-2}+\frac{y}{5}=1$$

例题3 已知直线过点$(1,2)$和$(3,0)$，求该直线的截距式方程。

解答： 首先，我们需要找到这条直线与x轴和y轴的交点。

• 与x轴的交点：令$y=0$，解方程得到x坐标。但这里我们已知一个点为$(3,0)$，所以与x轴的交点为$(3,0)$。
• 与y轴的交点：令$x=0$，由于我们不知道y坐标，需要先求出直线的斜率。斜率$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{0-2}{3-1}=-1$。然后利用点斜式方程$y-y_1=k(x-x_1)$，取$x_1=0,y_1=y$（y为y轴截距，待求），得到$y-y=-1(0-1)$，解得$y=1$。所以与y轴的交点为$(0,1)$。

现在我们可以写出截距式方程： $$\frac{x}{3}+\frac{y}{1}=1$$ 简化得： $$\frac{x}{3}+y=1$$

注意：在例题3中，我们实际上并没有直接使用截距式方程的定义来求解，而是先通过其他方法找到了与坐标轴的交点。但在某些情况下，如果直接给出了与坐标轴的交点，或者可以很容易地通过其他方式找到这些交点，那么就可以直接使用截距式方程的定义来求解。

另外，例题3中的解法也展示了如何在不知道与坐标轴交点的情况下，通过其他已知条件（如直线上的两点）来求解直线的截距式方程。这通常涉及到先求出直线的斜率，然后再利用斜率和其他条件来求出与坐标轴的交点。但在本题中，由于已经给出了一个与x轴的交点，所以我们只需要求出与y轴的交点即可。

将不同形式的直线方程转换为截距方程

将直线方程转换为截距方程，主要是要找到这条直线与x轴和y轴的交点，即找到x截距和y截距。截距方程的一般形式是 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，其中 $a$ 是x截距，$b$ 是y截距。

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1. 斜截式方程 $y=mx+b$

• x截距：令 $y=0$，解得 $x=-\frac{b}{m}$（如果 $m\ne 0$）。
• y截距：直接给出为 $b$。
• 截距方程：$\frac{x}{-\frac{b}{m}}+\frac{y}{b}=1$，化简得 $\frac{mx}{b}+\frac{y}{b}=1$，再化简为 $\frac{x}{-\frac{b}{m}}+\frac{y}{b}=1$（注意保持分母形式以符合截距方程的标准形式，但通常我们会选择更简洁的形式）。

2. 一般式方程 $Ax+By+C=0$

• x截距：令 $y=0$，解得 $x=-\frac{C}{A}$（如果 $A\ne 0$）。
• y截距：令 $x=0$，解得 $y=-\frac{C}{B}$（如果 $B\ne 0$）。
• 截距方程：$\frac{x}{-\frac{C}{A}}+\frac{y}{-\frac{C}{B}}=1$，化简得 $-\frac{Ax}{C}-\frac{By}{C}=1$。

3. 点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$

• 首先，将点斜式方程转换为斜截式方程 $y=mx+(y_1-m{x}_1)$。
• 然后，按照斜截式方程的步骤找到x截距和y截距。
• 最后，写出截距方程。

示例

将直线方程 $2x+3y-6=0$ 转换为截距方程。

• 一般式方程：$2x+3y-6=0$
• 找x截距：令 $y=0$，解得 $x=3$。
• 找y截距：令 $x=0$，解得 $y=2$。
• 截距方程：$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$。

注意：在转换过程中，如果直线与某个坐标轴平行（即斜率为0或无穷大），则相应的截距为无穷大，此时截距方程不适用。但在实际情况下，我们通常会避免使用截距方程来描述这样的直线。

直线的一般方程

直线的一般方程是描述直线在二维平面上位置的一种基本方式，它通常表示为两个变量的线性组合等于一个常数的形式。具体来说，直线的一般方程可以写为：

$$Ax+By+C=0$$

其中，$A$、$B$ 和 $C$ 是常数，且 $A$ 和 $B$ 不能同时为零（否则方程将退化为一个常数等于零的无效方程，或者只涉及一个变量，从而不表示一条直线）。

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几何意义

• 斜率：直线的斜率 $m$（如果存在）可以通过方程中的系数 $A$ 和 $B$ 来计算，即 $m=-\frac{A}{B}$（注意，当 $B=0$ 时，直线垂直于x轴，斜率不存在）。
• 截距：
  • x截距：直线与x轴的交点（即 $y=0$ 时的 $x$ 值），可以通过令 $y=0$ 并解方程 $Ax+C=0$ 来找到，结果为 $x=-\frac{C}{A}$（如果 $A\ne 0$）。
  • y截距：直线与y轴的交点（即 $x=0$ 时的 $y$ 值），可以通过令 $x=0$ 并解方程 $By+C=0$ 来找到，结果为 $y=-\frac{C}{B}$（如果 $B\ne 0$）。

例题

例题1：求直线 $3x-2y+4=0$ 的斜率和与坐标轴的交点。

解答：

• 斜率：由方程 $3x-2y+4=0$ 可知，$A=3$，$B=-2$，所以斜率 $m=-\frac{A}{B}=-\frac{3}{-2}=\frac{3}{2}$。
• x截距：令 $y=0$，代入方程得 $3x+4=0$，解得 $x=-\frac{4}{3}$。
• y截距：令 $x=0$，代入方程得 $-2y+4=0$，解得 $y=2$。

例题2：已知直线过点 $(1,2)$ 和 $(-2,4)$，求该直线的一般方程。

解答：

• 首先，使用两点式方程 $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$，代入点 $(1,2)$ 和 $(-2,4)$，得到 $\frac{y-2}{4-2}=\frac{x-1}{-2-1}$。
• 化简得 $\frac{y-2}{2}=-\frac{x-1}{3}$，进一步交叉相乘得 $3(y-2)=-2(x-1)$。
• 展开并整理得 $3y-6=-2x+2$，最后得到一般方程 $2x+3y-8=0$。

直线一般方程的系数有一个或两个为零的直线

在直线的一般方程 $Ax+By+C=0$ 中，系数 $A$、$B$ 和 $C$ 可以取任意实数，但 $A$ 和 $B$ 不能同时为零（否则方程将不表示一条直线）。现在我们来讨论当 $A$、$B$ 或 $C$ 有一个或两个为零时，直线的一般方程所表示的直线特性。

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1. 当 $A=0$ 且 $B\ne 0$ 时： 方程简化为 $By+C=0$ 或 $y=-\frac{C}{B}$。这是一条水平线，与y轴平行（或重合，如果 $C=0$ 的话），斜率为0。

2. 当 $A\ne 0$ 且 $B=0$ 时： 方程简化为 $Ax+C=0$ 或 $x=-\frac{C}{A}$。这是一条垂直线，与x轴平行（或重合，如果 $C=0$ 的话），斜率不存在。

3. 当 $C=0$ 时： 方程简化为 $Ax+By=0$。这是一条过原点的直线（除非 $A=B=0$，但这种情况已被排除）。这条直线的斜率 $m=-\frac{A}{B}$（如果 $B\ne 0$）。

4. 当 $A=0$ 且 $B=0$ 但 $C\ne 0$ 时： 这种情况实际上是不可能的，因为方程 $0x+0y+C=0$（其中 $C\ne 0$）是一个矛盾方程，没有解，因此不表示任何直线。

5. 特殊情况：$A=B=0$ 且 $C=0$： 方程简化为 $0x+0y+0=0$。这同样是一个无效方程，因为它对所有的 $x$ 和 $y$ 都成立，因此不表示任何特定的直线或点。

综上所述，当直线一般方程的系数有一个或两个为零时，直线可能是水平线、垂直线、过原点的直线，或者方程是无效的（不表示任何直线或点）。在实际应用中，我们通常会避免使用无效的方程，并根据具体情况选择最合适的直线表示方式。

参考文献

1.《高等数学讲义》
2.文心一言