一、什么是数学模型

一个栗子

例 1.1 一只装满水的圆柱型桶，底半径为 1米，高为 2米，底部有一直径为 0.1 米的洞。问桶流空要多少时间?

数学模型是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据事物的内在规律，作出一些必需的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。在这个例子中，数学模型可能涉及到流体动力学和几何学，通过计算水流的速率和桶的体积，来预测桶流空所需的时间。

二、数学建模的一般步骤

1.用数学语言表述实际问题

例 1.2 某委员会要从一批研究成果中通过无记名投票选出一些优秀成果。但在某成果的完成者中包含评委，应如何处理此问题才算公平?

用数学语言表述实际问题是将现实世界的问题转化为数学问题的过程。这通常包括定义变量、参数和函数，以及确定它们之间的关系。在这个例子中，可能需要考虑投票的公平性、评委的潜在偏见以及如何设计投票机制来减少这种偏见。

2.必要而合理的假设简化

两个原则：简化问题；合理化（保持模型与实际问题的“贴近度”）

必要而合理的假设简化是指为了使问题可解，需要对现实情况进行简化，同时保持模型对实际情况的合理近似。这可能包括忽略一些次要因素，或者假设某些变量是恒定的，以便更容易地应用数学方法。

3.灵活运用数学方法

灵活运用数学方法是关键。这可能包括代数、几何、微积分、概率论、统计学等，以及更高级的数学工具，如优化算法、数值分析和计算机模拟。

4.注意模型的解释和检验

例 1.3 欲在学生中间调查一个敏感问题，例如“你考试作过弊吗？”采用问卷调查的方式，要求被调查回答“是”或“不是”如何设计问卷才能估计出考试作弊率？

注意模型的解释和检验是指在建立模型后，需要对模型进行解释，确保它与现实世界的情况相符，并通过数据或实验来验证模型的准确性。在这个例子中，可能需要考虑如何设计问卷以减少社会期望偏差，并使用统计方法来估计作弊率。

5.努力发挥创造性

指在解决问题时，要运用现有的数学工具和方法，还要创造性地思考，可能包括开发新的数学方法或改进现有方法。

建模 ABC

A = Assume（假设）
B = Borrow（借鉴）
C = Criticise（批评）