3. 函数极限与连续函数

3.2 连续函数

3.2.9 反函数的连续性定理

【定理3.2.2】【反函数连续性定理】设$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续且严格单调增加，设$f(a)=\alpha ,f(b)=\beta$，则反函数$f^{-1}(y)$在$[\alpha ,\beta ]$上连续。
【证】先证$f$的值域是$[\alpha ,\beta ]$，
$\forall \gamma \in (\alpha ,\beta )$，集合 S = { x ∣ x ∈ [ a , b ] , f ( x ) < γ } \textbf{S}=\{x|x\in[a,b],f(x)<\gamma\} S={x∣x∈[a,b],f(x)<γ}，则令$\text{S}$的上确界为$x_0$，当$x<x_0,f(x)<\gamma$（单调增加），当$x>x_0,f(x)>\gamma$
令$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\le \gamma$（单调函数的单侧极限一定存在）
$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)\ge \gamma$
由于$f(x)$在$x_0$点连续，所以$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$
所以$\gamma =f(x_0)\in (\alpha ,\beta )$
即$\forall x\in (a,b):f(x)\in (\alpha ,\beta )$
又$f(a)=\alpha ,f(b)=\beta$，所以$f(x)$的值域是$[a,b]$
$\forall y_0\in (\alpha ,\beta )$，要证$f^{-1}$在$y_0$连续
对$y=\alpha$，证$f^{-1}$在$\alpha$右连续
对$y=\beta$，证$f^{-1}$在$\beta$左连续

设$f(x_0)=y_0,(f^{-1}(y_0)=x_0)$
$\forall \epsilon >0$，找$\delta >0,\forall y(|y-y_0|<\delta ):|f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)|\iff |x-x_0|<\epsilon$，取 δ = min ⁡ { y 0 − y 1 , y 2 − y 0 } \delta=\min\{y_{0}-y_{1},y_{2}-y_{0}\} δ=min{y0​−y1​,y2​−y0​}，当$|y-y_0|<\delta$时，有$|x-x_0|<\epsilon$，所以区间连续
对于左侧端点，找${\delta }_1>0,\forall y(|y-f(a)|=|y-\alpha |<{\delta }_1):|f^{-1}(y)-f^{-1}(\alpha )|=|f^{-1}(y)-a|\iff |x-a|<\epsilon$，取 δ 1 = min ⁡ { f ( a + ε ) − f ( a ) } \delta_{1}=\min\{f(a+\varepsilon)-f(a)\} δ1​=min{f(a+ε)−f(a)}，当$|y-\alpha |<\delta$时，有$|x-a|<\epsilon$，所以左端点连续
同理右端点连续。（后边证明端点连续是自己想的，欢迎数院大神批评指正）


【例】$y=\sin x，x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],y\in [-1,1]$，反函数为$y=\arcsin x,\text{D}=[-1,1],\text{R}=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，所以$y=\arcsin x$在$[-1,1]$不仅连续，且严格单调增加。

【例3.2.9】$y=\cos x$，它的反函数是$y=\arccos x$，$\text{D}=[-1,1],\text{R}=[0,\pi ]$
$y=\tan x$，它的反函数是$y=\arctan x,\text{D}=(-\infty ,+\infty ),\text{R}=(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

【例3.2.10】$y=a^x,(a>0,a\ne 1)$，它的反函数是$y={\log }_{a}x,\text{D}=(0,+\infty ),\text{R}=(-\infty ,+\infty )$

【注】三角函数，反三角函数，指数函数，对数函数，$y=x^n,n\in \mathbb{Z},y=x^{\alpha }=e^{\ln x^{\alpha }}=e^{\alpha \ln x}$等……的复合函数都是在其定义域上连续

3.2.10 复合函数的连续性

问题：$\underset{u\to u_0}{\lim }f(x)=A,\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0$，问$\underset{x\to x_0}{\lim }f\circ g(x)=A$是否成立，实际上是错误的，反例：$f(u)=\{\begin{array}{cc}0& ,u=0\\ 1& u\ne 0\end{array},g(x)=x\sin \frac{1}{x}$
$\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=0$，$f\circ g(x)=\{\begin{array}{cc}0& ,x=\frac{1}{n\pi }\\ 1& x\ne \frac{1}{n\pi }\end{array}$
令$x\to 0$，取$x_n^{\prime }=\frac{1}{n\pi }\ne 0$，但$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n^{\prime }=0$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }f\circ g(x_n^{\prime }))=0$，取$x_n^{\prime \prime }=\frac{1}{n\pi },x_n^{\prime \prime }\ne 0,x_n^{\prime \prime }\to 0,\underset{n\to \infty }{\lim }f\circ g(x_n^{\prime \prime })=1$
由海涅定理，$\underset{x\to 0}{\lim }f\circ g(x)$不存在。
【注】这个函数0这一点不连续。$\circ$是复合函数的符号。


【定理3.2.3】$u=g(x)$在$x_0$连续，$g(x_0)=u_0$，$f(u)$在$u_0$连续，则$f\circ g$在$x_0$连续。
也即$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0,\underset{u\to u_0}{\lim }f(x)=f(u_0)$，则$\underset{x\to x_0}{\lim }f\circ g(x)=f\circ g(x_0)=f(u_0)$
【证】$\epsilon >0,\exists \eta >0,\forall u(|u-u_0|<\eta ):|f(u)-f(u_0)|<\epsilon$
对上述$\eta >0,\exists \delta >0,\forall x(|x-x_0|<\delta ):|g(x)-g(x_0)|<\eta$
由于$g(x_0)=u_0$则$|g(x)-u_0|<\eta$
所以$\left|f\circ g(x)-f\circ g\left(x_0\right)\right|=\left|f\circ g(x)-f\left(u_0\right)\right|<\epsilon$
即$\underset{x\to x_0}{\lim }f\circ g(x)=f\circ g\left(x_0\right)$

【例3.2.10】$\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$（双曲正弦函数，双曲余弦函数），这两个函数是复合函数，比如$\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$可以写成$y=\frac{u+u^{-1}}{2},u=e^x$，$u$的值域是$u>0$，所以它复合后的结果也是连续的，所以$\mathrm{sh}x,\mathrm{ch}x$在$(-\infty ,+\infty )$连续。