关于若尔当矩阵中过渡矩阵的求法

news2024/11/15 7:04:05

关于若尔当矩阵中过渡矩阵的求法

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本文主要介绍考研中常考的另一类问题，当我们确认一个Jordan标准形时，对于过渡矩阵如何确定？这个常常是我们复习过程中容易忽略的一部分内容，也是一个失分点，希望大家重视.

例1. 求矩阵A的若尔当标准形J，并求过渡矩阵P，使得P−1AP=J,其中
A=(232182−2−14−3)

证明：A的特征多项式为：

|λE−A|=|λ−2−3−2−1λ−8−2214λ+3|=(λ−1)(λ−3)2

故A的特征值为1,3（2重）.

对于特征值1，它在A的Jordan标准形的主对角线上只出现一次.

对于特征值3，先求出rank(A-3E):

A−3E=(−132152−1−14−6)→(−132084000)

因此rank(A-3E)=2,从而主对角元为3的Jordan块数为3-2=1.于是A的Jordan标准形J为

J=(100031003)

下面我们来求过渡矩阵P,使得

P−1AP=J,

即

AP=PJ

为此，我们设

P=(X1,X2,X3),

则由 AP=PJ 可得

A(X1,X2,X3)=(X1,X2,X3)(100031003)

即

(AX1,AX2,AX3)=(X1,3X2,X2+3X3)

于是可得

AX1=X1,AX2=3X2,AX3=X2+3X3

即求解

(A−E)X=0,(A−3E)X=0,(A−3E)X=X2

由 (A−E)X=0 可得

X1=(2,0,−1)′

由 (A−3E)X=0 可得

X2=(1,−1,2)′

下面我们来求解

(A−3E)X=X2,

即增广矩阵为

(−1321152−1−2−14−62)→(152−108400−4−20)→(152−102100000)

易知

X=(−1,0,0)′

是方程的一个特解，就取

X3=(−1,0,0)′,

所以

P=(X1,X2,X3)=(21−10−10−120)

因为|P| ≠0, 所以 P 可逆，为若尔当标准形的过渡矩阵.

岩宝小提示：
1.谨记我们在确定过渡矩阵P的时候，P的取法不唯一；对于以上过渡矩阵

P=(X1,X2,X3)

我们如果对P的列向量重新排列，例如我们取

P=(X2,X3,X1)

则

P−1AP=(310030001)

这一点说明了，在矩阵的Jordan标准形中，除了若尔当块的排列顺序外是唯一确定的，其中若尔当的顺序可以任意调换.

2.有时候考试为了加强难度，再求过渡矩阵的时候，对于本题取定的X2有时候会遇见

(A−3E)X=X2

无解的情况，那么我们该如何处理呢？接下来我们给出一个例题，希望大家掌握.

例2.求矩阵
A=(010−440−212)的若尔当标准形 J，并求出过渡矩阵 P，使得
P−1AP=J

证明：A的特征多项式为

|λE−A|=|λ−104λ−402−1λ−2|=(λ−2)3

故A的特征值为2（3重）,计算可得

rank⁡(A−2E)=1

故主对角元为2的若尔当块总数为3-1=2.
由此可知A的若尔当标准形J为

J=(200021002)

下面确定过渡矩阵P，设

P=(X1,X2,X3),

使得P−1AP=J.即 AP=PJ. 这等价于

A(X1,X2,X3)=(X1,X2,X3)(010−440−212)

即

(AX1,AX2,AX3)=(2X1,2X2,X2+2X3)

从而有

(A−2E)X1=0,(A−2E)X2=0,(A−2E)X3=X2

解齐次线性方程组

(A−2E)X=0,

即

A−2E=(−210−420−210)→(1−120000000)

可得一般解为

X=(12x2,x2,x3)′

其中 x2,x3 为自由未知量，取

X2=(12y2,y2,y3)′,

我们对于

(A−2E)X=X2

进行求解，对于增广矩阵化为行阶梯形，即

(A−2E,X2)=(−21012y2−420y2−210y3)→(1−120−14y20000000−12y2+y3)

为了保证

(A−2E)X=X2

有解,我们就需要

y3=12y2,

于是可取

X2=(1,2,1)′

此时在取与X2 线性无关的 X1, 不妨取

X1=(0,0,1)′,

解线性方程组

(A−2E)X=X2,

得到一个特解为

X3=(−12,0,0)′,

于是

P=(X1,X2,X3)=(01−12020110)

易知P可逆，故P满足

P−1AP=J.

岩宝小提示：本题中

y3=12y2

是因为为了保证线性方程组有解，这一点大家一定不要忽略！！！

岩宝同步思考练习

1.（2016郑州大学）求矩阵

A=(−110−430102)

的若尔当标准形，并求出过渡矩阵P，使得P−1AP=J.
2.（2018郑州大学）求矩阵

A=(312121−1−10)

的若尔当标准形，并求出过渡矩阵P，使得P−1AP=J.
3.（2015山东大学）求矩阵

A=(30803−160−20−500002)

的若尔当标准形，并求出过渡矩阵P，使得P−1AP=J.
4.求下列矩阵的若尔当标准形，并求出过渡矩阵P，使得P−1AP=J.
（1）

A=(−1−33−2−6131−48)

（2）

A=(120020−2−2−1)

发布于 2020-07-12 11:56

矩阵

线性方程组

特征值

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