之前大学的时候学微分方程有点云里雾里的，一直想找个机会认真学习一下。正好最近要用到微分方程，花了点时间复习了一下，顺便分享一下做的笔记。

一、基础概念

• 微分方程：含有未知函数的导数（包含高阶导数）或微分的等式（表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系）称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。
• 微分方程种未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。
• 关于未知函数及其各阶导数均为一次的方程称为线性微分方程。
• 微分方程的解就是满足微分方程的函数。
• 若方程的解中含有与方程的阶数相同个数的互相独立的任意常数（这里所说的任意常数相互独立，是指它们不能合并而使得任意常数的个数减少），则称这样的解为方程的通解；确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件或初值条件；方程通解中任意常数被确定之后的适合定解条件的解称为微分方程的特解。

二、重要结论

1、一阶可分离变量的微分方程求解思路

可分离变量，那就分离变量之后再两边积分即可求解。

2、一阶非齐次线性微分方程解的结构

一阶非齐次线性微分方程解的结构为：非齐次方程之通解 = 齐次方程之通解 + 非齐次方程之特解。 证明如下：

一些思考：
为什么可以使用常数变易法来求解非齐次方程？
常数变易法是个什么东西？
为什么在求完齐次之后，可以用C(x)替换C?

这几个问题都围绕常数变易法展开，所以笔者读了大量的有关常数变易法的文章，

常数变易法思想的来源或本质是什么？https://www.zhihu.com/question/31329122
“常数变易法”有效的原理：https://blog.csdn.net/w573719227/article/details/83050039
常数变易法的解释https://www.cnblogs.com/lookof/archive/2009/01/06/1370065.html

最后尝试将常数变易法的思路捋顺，写了下面的一篇博文

常数变易法的“前世今生”：https://blog.csdn.net/Gou_Hailong/article/details/122965276

3、可降阶的高阶微分方程

一般情况下，求解高阶方程更加困难。处理高阶方程的思路之一就是设法降低方程的阶，有几类可用降阶法求解的微分方程如下所示：

4、线性微分方程解的结构

1. 二阶齐次线性微分方程解的结构

2. 二阶非齐次线性微分方程解的结构

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需要强调的是，上面关于二阶线性微分方程解的性质与结构的结论均可推广到n阶线性微分方程的情形。换言之，对于n阶线性微分方程：

• 对于n阶齐次线性微分方程，两个解的线性组合也是齐次线性微分方程的解
• 对于n阶齐次线性微分方程，若现有n个线性无关的解，则n阶齐次线性微分方程的通解为这个n个线性无关的解的线性组合。
• n阶非齐次线性微分方程的通解 = 它所对应的齐次线性微分方程的通解 + 它本身的一个特解
• n阶非齐次线性微分方程也满足叠加原理。

参考

• 高等数学, 齐友民. 高等教育出版社
• 百度百科