本文参考labuladong算法笔记[二叉搜索树心法（基操篇） | labuladong 的算法笔记]

1、概述

我们前文 东哥带你刷二叉搜索树（特性篇） 介绍了 BST 的基本特性，还利用二叉搜索树「中序遍历有序」的特性来解决了几道题目，本文来实现 BST 的基础操作：判断 BST 的合法性、增、删、查。其中「删」和「判断合法性」略微复杂。

BST 的基础操作主要依赖「左小右大」的特性，可以在二叉树中做类似二分搜索的操作，寻找一个元素的效率很高。

对于 BST 相关的问题，你可能会经常看到类似下面这样的代码逻辑：

def BST(root: TreeNode, target: int) -> None:
    if root.val == target:
        # 找到目标，做点什么
    if root.val < target:
        BST(root.right, target)
    if root.val > target:
        BST(root.left, target)

这个代码框架其实和二叉树的遍历框架差不多，无非就是利用了 BST 左小右大的特性而已。接下来看下 BST 这种结构的基础操作是如何实现的。

2、判断 BST 的合法性

力扣98 .「验证二叉搜索树」

给你一个二叉树的根节点 root ，判断其是否是一个有效的二叉搜索树。

有效 二叉搜索树定义如下：

• 节点的左子树只包含 小于 当前节点的数。
• 节点的右子树只包含 大于 当前节点的数。
• 所有左子树和右子树自身必须也是二叉搜索树。

示例 1：

输入：root = [2,1,3]
输出：true

示例 2：

输入：root = [5,1,4,null,null,3,6]
输出：false
解释：根节点的值是 5 ，但是右子节点的值是 4 。

提示：

• 树中节点数目范围在[1, 104] 内
• -231 <= Node.val <= 231 - 1

【思路】

注意，这里是有坑的哦。按照 BST 左小右大的特性，每个节点想要判断自己是否是合法的 BST 节点，要做的事不就是比较自己和左右孩子吗？感觉应该这样写代码：

def isValidBST(root: TreeNode) -> bool:
    if root is None:
        return True
    # root 的左边应该更小
    if root.left is not None and root.left.val >= root.val:
        return False
    # root 的右边应该更大
    if root.right is not None and root.right.val <= root.val:
        return False

    return isValidBST(root.left) and isValidBST(root.right)

 但是这个算法出现了错误，BST 的每个节点应该要小于右边子树的所有节点，下面这个二叉树显然不是 BST，因为节点 10 的右子树中有一个节点 6，但是我们的算法会把它判定为合法 BST：

错误的原因在于，对于每一个节点 root，代码值检查了它的左右孩子节点是否符合左小右大的原则；但是根据 BST 的定义，root 的整个左子树都要小于 root.val，整个右子树都要大于 root.val。

问题是，对于某一个节点 root，他只能管得了自己的左右子节点，怎么把 root 的约束传递给左右子树呢？请看正确的代码：

【python】

class Solution:
    def isValidBST(self, root: TreeNode) -> bool:
        return self._isValidBST(root, None, None)

    # 定义：该函数返回 root 为根的子树的所有节点是否满足 max.val > root.val > min.val
    def _isValidBST(self, root: TreeNode, min: TreeNode, max: TreeNode) -> bool:
        # base case
        if root is None:
            return True
        # 若 root.val 不符合 max 和 min 的限制，说明不是合法 BST
        if min is not None and root.val <= min.val:
            return False
        if max is not None and root.val >= max.val:
            return False
        # 根据定义，限定左子树的最大值是 root.val，右子树的最小值是 root.val
        return self._isValidBST(root.left, min, root) and self._isValidBST(root.right, root, max)

3、在 BST 中搜索元素

700 .「二叉搜索树中的搜索」

给定二叉搜索树（BST）的根节点 root 和一个整数值 val。

你需要在 BST 中找到节点值等于 val 的节点。 返回以该节点为根的子树。 如果节点不存在，则返回 null 。

示例 1:

输入：root = [4,2,7,1,3], val = 2
输出：[2,1,3]

示例 2:

输入：root = [4,2,7,1,3], val = 5
输出：[]

提示：

• 树中节点数在 [1, 5000] 范围内
• 1 <= Node.val <= 107
• root 是二叉搜索树
• 1 <= val <= 107

如果是在一棵普通的二叉树中寻找，可以这样写代码：

def searchBST(root, target):
    if not root:
        return None
    if root.val == target:
        return root
    # 当前节点没找到就递归地去左右子树寻找
    left = searchBST(root.left, target)
    right = searchBST(root.right, target)

    return left if left else right

这样写完全正确，但这段代码相当于穷举了所有节点，适用于所有二叉树。那么应该如何充分利用 BST 的特殊性，把「左小右大」的特性用上？

很简单，其实不需要递归地搜索两边，类似二分查找思想，根据 target 和 root.val 的大小比较，就能排除一边。我们把上面的思路稍稍改动：

def searchBST(root: TreeNode, target: int) -> TreeNode:
    # 如果二叉树为空，直接返回
    if not root:
        return None
    # 去左子树搜索
    if root.val > target:
        return searchBST(root.left, target)
    # 去右子树搜索
    if root.val < target:
        return searchBST(root.right, target)
    # 当前节点就是目标值
    return root

4、在 BST 中插入一个数

对数据结构的操作无非遍历 + 访问，遍历就是「找」，访问就是「改」。具体到这个问题，插入一个数，就是先找到插入位置，然后进行插入操作。

因为 BST 一般不会存在值重复的节点，所以我们一般不会在 BST 中插入已存在的值。下面的代码都默认不会向 BST 中插入已存在的值。

上一个问题，我们总结了 BST 中的遍历框架，就是「找」的问题。直接套框架，加上「改」的操作即可。

一旦涉及「改」，就类似二叉树的构造问题，函数要返回 TreeNode 类型，并且要对递归调用的返回值进行接收。

701. 「二叉搜索树中的插入操作」

给定二叉搜索树（BST）的根节点 root 和要插入树中的值 value ，将值插入二叉搜索树。 返回插入后二叉搜索树的根节点。 输入数据 保证 ，新值和原始二叉搜索树中的任意节点值都不同。

注意，可能存在多种有效的插入方式，只要树在插入后仍保持为二叉搜索树即可。 你可以返回 任意有效的结果 。

示例 1：

输入：root = [4,2,7,1,3], val = 5

输出：[4,2,7,1,3,5]
解释：另一个满足题目要求可以通过的树是：

示例 2：

输入：root = [40,20,60,10,30,50,70], val = 25
输出：[40,20,60,10,30,50,70,null,null,25]

示例 3：

输入：root = [4,2,7,1,3,null,null,null,null,null,null], val = 5
输出：[4,2,7,1,3,5]

提示：

• 树中的节点数将在 [0, 104]的范围内。
• -108 <= Node.val <= 108
• 所有值 Node.val 是 独一无二 的。
• -108 <= val <= 108
• 保证 val 在原始BST中不存在。

【python】

class Solution:
    def insertIntoBST(self, root: TreeNode, val: int) -> TreeNode:
        if not root:
            # 找到空位置插入新节点
            return TreeNode(val)
        # 去右子树找插入位置
        if root.val < val:
            root.right = self.insertIntoBST(root.right, val)
        # 去左子树找插入位置
        if root.val > val:
            root.left = self.insertIntoBST(root.left, val)
        # 返回 root，上层递归会接收返回值作为子节点
        return root

5、在 BST 中删除一个数

450. 删除二叉搜索树中的节点 | 力扣  

给定一个二叉搜索树的根节点 root 和一个值 key，删除二叉搜索树中的 key 对应的节点，并保证二叉搜索树的性质不变。返回二叉搜索树（有可能被更新）的根节点的引用。

一般来说，删除节点可分为两个步骤：

1. 首先找到需要删除的节点；
2. 如果找到了，删除它。

示例 1:

输入：root = [5,3,6,2,4,null,7], key = 3
输出：[5,4,6,2,null,null,7]
解释：给定需要删除的节点值是 3，所以我们首先找到 3 这个节点，然后删除它。
一个正确的答案是 [5,4,6,2,null,null,7], 如下图所示。
另一个正确答案是 [5,2,6,null,4,null,7]。

示例 2:

输入: root = [5,3,6,2,4,null,7], key = 0
输出: [5,3,6,2,4,null,7]
解释: 二叉树不包含值为 0 的节点

示例 3:

输入: root = [], key = 0
输出: []

提示:

• 节点数的范围 [0, 104].
• -105 <= Node.val <= 105
• 节点值唯一
• root 是合法的二叉搜索树
• -105 <= key <= 105

进阶： 要求算法时间复杂度为 O(h)，h 为树的高度。

【思路】

这个问题稍微复杂，跟插入操作类似，先「找」再「改」，先把框架写出来再说：

def deleteNode(root: TreeNode, key: int) -> TreeNode:
    if root.val == key:
        # 找到啦，进行删除
    elif root.val > key:
        # 去左子树找
        root.left = deleteNode(root.left, key)
    elif root.val < key:
        # 去右子树找
        root.right = deleteNode(root.right, key)
    return root

找到目标节点了，比方说是节点 A，如何删除这个节点，这是难点。因为删除节点的同时不能破坏 BST 的性质。有三种情况，用图片来说明。

情况 1：A 恰好是末端节点，两个子节点都为空，那么它可以当场去世了。

if (root.left == null && root.right == null)
    return null;

情况 2：A 只有一个非空子节点，那么它要让这个孩子接替自己的位置。

// 排除了情况 1 之后
if (root.left == null) return root.right;
if (root.right == null) return root.left;

情况 3：A 有两个子节点，麻烦了，为了不破坏 BST 的性质，A 必须找到左子树中最大的那个节点，或者右子树中最小的那个节点来接替自己。我们以第二种方式讲解。

if (root.left != null && root.right != null) {
    // 找到右子树的最小节点
    TreeNode minNode = getMin(root.right);
    // 把 root 改成 minNode
    root.val = minNode.val;
    // 转而去删除 minNode
    root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
}

三种情况分析完毕，填入框架，简化一下代码：

class Solution:
    '''
    思路：
        1、考虑每个节点应该做什么，应该用递归思路求解
        2、对于单个节点，分为节点值 大于/小于/等于 key三种情况讨论
        3、节点值大于或小于key时，直接递归调用 deleteNode 函数，重塑该节点
        4、节点值等于key时，考虑被删节点处的三种结构，无子节点、有一个子节点、有两个子节点
        5、若有两个子节点，可找到左子树最大节点或右子树最小节点将其删除，并对node做替换
        6、min_node.left = root.left, min_node.right = root.right
    '''
    def deleteNode(self, root: TreeNode, key: int) -> TreeNode:
        if root == None:
            return None
        if root.val == key:
            # 这两个 if 把情况 1 和 2 都正确处理了
            if root.left == None:
                return root.right
            if root.right == None:
                return root.left
            # 处理情况 3
            # 获得右子树最小的节点
            minNode = self.getMin(root.right)
            # 删除右子树最小的节点
            root.right = self.deleteNode(root.right, minNode.val)
            # 用右子树最小的节点替换 root 节点
            minNode.left = root.left
            minNode.right = root.right
            root = minNode
        elif root.val > key:
            root.left = self.deleteNode(root.left, key)
        elif root.val < key:
            root.right = self.deleteNode(root.right, key)
        return root

    def getMin(self, node: TreeNode) -> TreeNode:
        # BST 最左边的就是最小的
        while node.left != None:
            node = node.left
        return node

6、总结

1、如果当前节点会对下面的子节点有整体影响，可以通过辅助函数增长参数列表，借助参数传递信息。

2、掌握 BST 的增删查改方法。

3、递归修改数据结构时，需要对递归调用的返回值进行接收，并返回修改后的节点。