一、微分的定义

定义 设函数 $y=f(x)$ 在某区间内有定义，$x_0$ 及 $x_0+\Delta x$ 在这区间内，如果函数的增量
$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$
可表示为
$$\Delta y=A\Delta x+o(x),\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 是可微的，而 $A\Delta x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $\mathrm{d}y$ ，即
$$\mathrm{d}y=A\Delta x$$

下面讨论函数可微的条件。设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微，则按定义有 $(1)$ 式成立。$(1)$ 式两边除以 $\Delta x$ ，得
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(x)}{\Delta x}$$
于是，当 $\Delta x\to 0$ 时，由上式可得
$$A=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)$$
因此，如果函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微，那么 $f(x)$ 在点 $x_0$ 也一定可导（即 $f^{\prime }(x_0)$ 存在），且 $A=f^{\prime }(x_0)$ 。

反之，如果 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，即
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)$$
存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)+\alpha$$
其中 $\alpha \to 0$ （当 $\Delta x\to 0$）。由此又有
$$\Delta y=f^{\prime }(x_0)\Delta x+\alpha \Delta x.$$
因 $\alpha \Delta x=o(x)$ ，且 $f^{\prime }(x)$ 不依赖于 $\Delta x$ ，故上式相当于 $(1)$ 式。所以 $f(x)$ 在点 $x_0$ 也是可微的。

由此可见，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微的充分必要条件是函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，且当 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微时，其微分一定是
$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\Delta x.\text{\hspace{1em}(2)}$$
当 $f^{\prime }(x)\ne 0$ 时，有
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\mathrm{d}y}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{f^{\prime }(x_0)\Delta x}=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=1.$$
从而，当 $\Delta \to 0$ 时，$\Delta y$ 与 $\mathrm{d}y$ 是等价无穷小，于是有
$$\Delta y=\mathrm{d}y+o(\mathrm{d}y),\text{\hspace{1em}(3)}$$
即 $\mathrm{d}y$ 是 $\Delta y$ 的主部。又由于 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\Delta x$ 是 $\Delta x$ 的线性函数，所以在 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ 的条件下，我们说 $\mathrm{d}y$ 是 $\Delta y$ 的线性主部（当 $\Delta x\to 0$）.于是我们得到结论：在 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ 的条件下，以微分 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\Delta x$ 近似代替增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 时，其误差为 $o(\mathrm{d}y)$ ，因此，在 $|\Delta x|$ 很小时，有近似等式
$$\Delta y\approx \mathrm{d}y.$$

例1 求函数 $y=x^2$ 在 $x=1$ 和 $x=3$ 处的微分。
解：函数 $y=x^2$ 在 $x=1$ 处的微分为
$$\mathrm{d}y={(x^2{)}^{\prime }|}_{x=1}\Delta x=2\Delta x,$$
在 $x=3$ 处的微分为
$$\mathrm{d}y={(x^2{)}^{\prime }|}_{x=3}\Delta x=6\Delta x,$$

函数 $y=f(x)$ 在任意点 $x$ 的微分，称为函数的微分，记作 $\mathrm{d}y$ 或 $\mathrm{d}f(x)$ ，即
$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\Delta x.$$

显然，函数的微分 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\Delta x$ 与 $x$ 和 $\Delta x$ 有关。

例2 求函数 $y=x^3$ 当 $x=2$ ，$\Delta x=0.02$ 时的微分。
解：先求函数在任意点 $x$ 的微分
$$\mathrm{d}y=(x^3{)}^{\prime }\Delta x=3x^2\Delta x.$$
再求函数当 $x=2$ ，$\Delta x=0.02$ 时的微分
$${\mathrm{d}y|}_{x=2,\Delta x=0.02}={(3x^2)\Delta x|}_{x=2,\Delta x=0.02}=3\times 2^2\times 0.02=\mathrm{0.24.}$$

通常把自变量 $x$ 的增量 $\Delta x$ 称为自变量的微分，记作 $\mathrm{d}x$ ，即 $\mathrm{d}x=\Delta x$ 。于是函数 $y=f(x)$ 的微分又可以记作
$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x.$$
从而有
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(x).$$
这就是说，函数的微分 $\mathrm{d}y$ 与自变量的微分 $\mathrm{d}x$ 之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做“微商”。

二、微分的几何意义

三、微分运算

从函数的微分的表达式
$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$$
可以看出，要计算函数的微分，只需要计算函数的导数，再乘以自变量的微分。

1、函数和、差、积、商的微分法则

（1）$\mathrm{d}(u\pm v)=\mathrm{d}u\pm \mathrm{d}v$ .
（2）$\mathrm{d}(Cu)=C\mathrm{d}u$
（3）$\mathrm{d}(uv)=v\mathrm{d}u+u\mathrm{d}v$
（4）$\mathrm{d}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\mathrm{d}u-u\mathrm{d}v}{v^2}(v\ne 0)$.

2、复合函数的微分法则

与复合函数的求导法则相应地复合函数的微分法则可推导如下：
设 $y=f(u)$ 及 $u=\mathrm{g}(x)$ 都可导，则复合函数 $y=f[\mathrm{g}(x)]$ 的微分为

$$\mathrm{d}y=y_x^{\prime }\mathrm{d}x=f^{\prime }(u){\mathrm{g}}^{\prime }(x)\mathrm{d}x.$$

由于 ${\mathrm{g}}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\mathrm{d}u$ ，所以，复合函数 $y=f[\mathrm{g}(x)]$ 的微分公式也可以写成

KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 2: $̲y = f[\mathrm{g…

由此可见，无论 $u$ 是自变量还是中间变量，微分形式 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$ 保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时，微分形式 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$ 并不改变。

例3 设 $y=\sin (2x+1)$ ，求 $\mathrm{d}y$ .
解：把 $2x+1$ 看成中间变量 $u$ ,则
$$\mathrm{d}y=\mathrm{d}(\sin u)=\cos u\mathrm{d}u=\cos (2x+1)\mathrm{d}(2x+1)=2\cos (2x+1)\mathrm{d}x$$

例4 设 $y=\ln (1+{\mathrm{e}}^{x^2})$ ，求 $\mathrm{d}y$
解：
$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}y& =\mathrm{d}(\ln (1+{\mathrm{e}}^{x^2}))\\ & =\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{x^2}}\mathrm{d}(1+{\mathrm{e}}^{x^2})\\ & =\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{x^2}}\cdot {\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}(x^2)\\ & =\frac{{\mathrm{e}}^{x^2}}{1+{\mathrm{e}}^{x^2}}\cdot 2x\mathrm{d}x\\ & =\frac{2x{\mathrm{e}}^{x^2}}{1+{\mathrm{e}}^{x^2}}\mathrm{d}x.\end{array}$$

例5 设 $y={\mathrm{e}}^{1-3x}\cos x$ ，求 $\mathrm{d}y$ 。
解：应用积的微分法则，得
$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}y& =\mathrm{d}({\mathrm{e}}^{1-3x}\cos x)\\ & =\cos x\mathrm{d}({\mathrm{e}}^{1-3x})+{\mathrm{e}}^{1-3x}\mathrm{d}(\cos x)\\ & =(\cos x){\mathrm{e}}^{1-3x}(-3\mathrm{d}x)+{\mathrm{e}}^{1-3x}(-\sin x\mathrm{d}x)\\ & =-{\mathrm{e}}^{1-3x}(3\cos x+\sin x)\mathrm{d}x.\end{array}$$

四、微分在近似计算中的应用

在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式。如果直接用这些公式进行计算，那是很费力的。利用微分往往可以把一些复杂的计算公式用简单的近似公式来代替。

前面说过，如果 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ ，且 $|\Delta x|$ 很小时，我们有

$$\Delta y\approx \mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\Delta x.$$

这个式子也可以写为

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\approx f^{\prime }(x_0)\Delta x,\text{\hspace{1em}(4)}$$

或

$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\Delta x.\text{\hspace{1em}(5)}$$

在 $(5)$ 式中令 $x=x_0+\Delta x$ ，即 $\Delta x=x-x_0$ ，那么 $(5)$ 式可以写为

$$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0).\text{\hspace{1em}(6)}$$

如果 $f(x_0)$ 与 $f^{\prime }(x_0)$ 都容易计算，那么可以利用 $(4)$ 式来近似计算 $\Delta y$ ，利用 $(5)$ 式来近似计算 $f(x_0+\Delta x)$ ，或利用 $(6)$ 式来近似计算 $f(x)$ 。这种近似计算的实质就是用 $x$ 的线性函数 $f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ 来近似表达函数 $f(x)$ 。从导数的几何意义可知，这也就是用曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线来近似代替该曲线（就切点邻近部分来说）。

例7 有一批半径为 $1\mathrm{cm}$ 的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为 $0.01\mathrm{cm}$ 。估计一下镀每只球需用多少克铜（铜的密度是 $8.9\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$）。
解：先求出镀层的体积，再乘密度就可得到镀每只球需用的铜的质量。
因为镀层的体积等于镀铜前、后两个球体体积之差，所以它就是球体体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 当 $R$ 自 $R_0$ 取得增量 $\Delta R$ 时的增量 $\Delta V$ 。我们求 $V$ 对 $R$ 的导数。
$${V^{\prime }|}_{R=R_0}={{\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)}^{\prime }|}_{R=R_0}=4\pi R_0^2,$$
可得
$$\Delta V\approx 4\pi R_0^2\Delta R.$$
将 $R_0=1$ ， $\Delta R=0.01$ 代入上式，得
$$\Delta V\approx 4\times 3.14\times 1^2\times 0.01\approx 0.13({\mathrm{cm}}^3),$$
于是镀每只球需用的铜约为
$$0.13\times 8.9=1.16(\mathrm{g})$$

例8 利用微分计算 $\sin 30^{\circ }30^{\prime }$ 的近似值。
解：把 $\sin 30^{\circ }30^{\prime }$ 化为弧度，得
$$30^{\circ }30^{\prime }=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{360}.$$
由于所求的是正弦函数的值，故设 $f(x)=\sin x$ 。此时 $f^{{}^{\prime }}=\cos x$ 。如果取 $x_0=\frac{\pi }{6}$ ，那么 $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ 与 $f^{{}^{\prime }}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 都容易计算，并且 $\Delta x=\frac{\pi }{360}$ 比较小，可得
$$\begin{array}{rl}\sin 30^{\circ }30^{\prime }& =\sin \left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{360}\right)\approx \sin \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{6}\times \frac{\pi }{360}\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\pi }{360}\\ & \approx 0.5000+0.0076=0.5076\end{array}$$
在 $(6)$ 式中取 $x_0=0$ ，于是得
$$f(x)\approx f(0)+f^{{}^{\prime }}(0)x.\text{\hspace{1em}(7)}$$

应用 $(7)$ 式可以推得以下几个在工程上常用的近似公式（下面都假定 $|x|$ 是比较小的数值）：
（1）$(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x(\alpha \in \mathbb{R})$
（2）$\sin x\approx x(x以弧度为单位)$
（3）$\tan x\approx x(x以弧度为单位)$
（4）${\mathrm{e}}^x\approx 1+x$
（5）$\ln (1+x)\approx x.$

例9 计算 $\sqrt{1.05}$ 的近似值。
解：
$$\sqrt{1.05}=\sqrt{1+0.05}$$
这里 $x=0.05$ ，其值较小，利用近似公式（1）可得
$$\sqrt{1.05}\approx 1+\frac{1}{2}\times 0.05=\mathrm{1.025.}$$

原文链接：高等数学 2.5 函数的微分