CS61C 2020计算机组成原理Lecture01-数字表示，溢出

news2024/11/15 18:13:48

1. 原码

原码就是符号化的数值，其编码规则简单直观：正数符号位用0表示，负数符号位用1表示，数值位保持不变。
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x=+0.1101，则[x]原=0.1101；x=+1101，则[x]原=01101

x= -0.1111，则[x]原=1.1111； x= -1111，则[x]原=11111

但原码存在两个机器0，这会给数据运算带来麻烦。另外原码的加减法运算复杂，符号位不能直接参与运算。加法运算需要“同号求和，异号求差”，减法运算需要“一号求和，同好求差”，求差时还需要先比较大小，然后用大数减去小数，最后结果的符号选择也相对复杂。显然，利用原码作为机器数在实现加减法运算方面是不方便的，原码在计算机中目前仅仅用于表示浮点数的尾码。

2. 反码

反码又称1的补码，其符号位和原码相同，真值为正数时，反码和原码相同；真值为负数时，反码数值位为真值数值位取反。现代计算机中并没有采用反码进行数据表示和运算，这是因为人们找到了更好的编码——补码。

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x=+0.1101，则[x]反=0.1101；x=+1101，则[x]反=01101 

x= -0.1111，则[x]反=1.0000；x= -1111，则[x]反=10000

3. 补码

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在计算机中，一个如果n bit 为，且需要表示正负数，那么表示的范围是从 -2^n-1 ~ 2^n-1 -1，0就是用全0表示。负数能比正数多表达一个，是因为在计算机中，负整数是用补码表示的。所以，非常适合采用补码进行表示和运算。例如：

对于正整数：

正整数的原码和补码相同。

对于负整数：

当原码为全1的情况如下：
1111 1111 | 1111 1111 | 1111 1111 | 1111 1111（-2147483647原码）
1000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000| 0000 0000 （-2147483647反码）
1000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000| 0000 0001 （-2147483647补码）

由于计算机中是用补码进行计算的，所以最小负整数-2147483648补码可以表示为
1000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000| 0000 0000
那么其原码和反码理论上是存在的，加上第一位符号位，但是32位是无法存储的。但计算机中由于直接用补码进行计算，所以可以存储其补码


x=+0.0101，则[x]补=0.0101；

x= -0.0101，则[x]补=1.1011；

x= -0.0000，则[x]补=0.0000；

x= -1.0000，则[x]补=1.0000；

对于零：
此外还有两种情况没有包含进去：
+0：
0000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000| 0000 0000 （原码、反码和补码匀为同一个）
即整数为0这种情况，在二进制中0的反码可以表示为-0和+0这两种情况
-0：
1000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000| 0000 0000 （原码）
即-0，反码表示为：
1111 1111 | 1111 1111 | 1111 1111 | 1111 1111
-0补码为反码加1，则补码为：
1 0000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000| 0000 0000 第一位1舍去即：
0000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000| 0000 0000，所以+0和-0的补码是一样的，由此可见计算机为什么会使用补码进行计算。

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4. 移码

移码只用于定点整数的表示，通常用于表示浮点数的阶码。其编码方式是直接将真值x加一个常数偏移量。

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移码的符号位中0表示负数，1表示正数；

5. 溢出

程序验证

最后来考虑如果取int的值超过这个范围的情况，以下为程序来验证：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int i=2147483647;
	int j=2147483648;
	int k=2147483649;
	cout<<i<<endl;
	cout<<j<<endl;
	cout<<k<<endl;
	return 0;
}

从上图输出结果来看，可以看到一个很有趣的结果，当正整数超出2147483647范围后出现了循环取值的现象，即2147483648溢出后回到了最小负整数-2147483648，2147483649溢出后变成了-2147483648+1=-2147483647，依次类推。
所以2147483649可以表示为-2147483648+1，1000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000 + 0000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000 | 0000 0001 = 1000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000 | 0000 0001
所以int整型溢出后可以用这样的方式类推。

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