位运算简介

位运算：面向二进制的计算，二进制的位数是从0开始（右到左）

• 与运算：有0得0（有一个是假的，结果就是假的）
• 或运算：有1得1（有一个是真的，结果就是真的）
• 异或运算：相同为0，不同为1（相同结果为假，不同结果为真）
• 取反
• 左移、右移

与运算&

x	y	x&y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

6&11=0110&1011=0010=2

或运算|

x	y	x/y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

6|11=0110|1011=1111=15

异或运算^

0	0	0
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	0

• 交换律：x^y=y^x
• 结合律：x^(y^z)=(x^y)^z
• 自反性:x^x=0
• 零元素:x^0=x
• 逆运算:x^y=z-->z^y=x

证明

对于交换律，很显然，异或是比较xy是否有不同，跟位置没关系。

对于结合律，异或是比较xyz……是否有不同，跟位置没关系。
比如(1^1)^0=0^0=0 1^(1^0)=1^1=0 (1^1)^1=0^1=1 1^(1^1)=1^0=1
只要有一个不同，就变成1，如果又遇到相同的，就变成0，直到变完为止……
这种相同以及不同的关系跟位置没啥关系。

对于零元素，当x=1，1^0=1，当x=0，0^0=0。

对于自反性，根据异或运算定义，x=x，所以x^x=0 。

对于逆运算，x^y=z-->x^y^y=z^y-->x^0=x=z^y

取反~

把二进制的0变成1，1变成0
~6= ~0110=1001=9
~1=0001=1110=

左移<<

二进制向左移动指定位数
每次左移一位，相当于乘上2

5=0000 0101
5<<3=0010 1000=40

右移>>

每次右移一位，相当于除以2

13=1101
13>>2=0011=3

位运算技巧

判断奇偶性

• 对2求余数:x%2
  • 直接判断二进制的第0位是1或者0
  • 相当于直接判断x&1

13&1=1101&0001=0001 所以13%2=1
12%1=1100&0001=0000 所以12%2=0

求出x二进制的第i位

• 已知获取第0位：直接&1
• 那先把第i位转成第0位（右移i位），再求第0位就可以得到原来的第i位

(x>>i)&1

假如需要求19的第三位是多少。
(19>>3)&1=(0001 0011>>3)&0000 0001=0000 0010&0000 0001=0000 0000=0

将二进制的第i位设置成1

x|(1<<i)

原理：把1左移到第i位和x的第i位对应，此时已经有一方是1，或运算后值的第i位一定是1，其他位和0进行或运算得到原来的值。

比如把19的第三位设置成1
19|(1<<3)=0001 0011|(0000 0001<<3)=0001 0011|00001000=0001 1011=27

将二进制的第i位设置成0

x&~(1<<i)

原理：把1左移到第i位和x的第i位对应，取反后除了第i位是0，其他都是1，再和x进行与运算，只要x是1的最后还是1，x是0的最后还是0，x的第i位一定是0.

比如把19的第四位设置成0
19&~(1<<4)=0001 0011& ~(0001 0000)=0001 0011&1110 1111=0000 0011=3

判断是否为2的若干次方

• 判断x&(x-1)是否为0
• 原理：2的若干次方进制表示只存在一个1。

如果x&(x-1)=0说明二进制中只有1个1.

获取x的最低位的1

Lowbit(x)=x&(-x)这个函数的值是x的二进制表达式中最低位的1所对应的值。

这里涉及二进制的负数。

二进制的负数用补码表示，补码就是取其绝对值的二进制表示（即正数的二进制表示），然后取反（0变1，1变0），最后加1得到。

如果求-8的二进制写法：

• 先求出+8的二进制：0000 0100
• 取反：1111 1011
• 加1：1111 1100

以二进制表示+12是0000 1100；
以二进制表示-8是1111 1000；
12-8=0000 0100=4
进位会传递到最左边的所有1上，把他们同时设置为0

回到Lowbit(x)=x&(-x)，可以发现变为反码后 x 与反码数字位每一位都不同， 所以当反码加1后神奇的事情发生了，反码会逢1一直进位直到遇到0，且这个0变成了1，所以这个数最后面构造了一个 100… 串。 由于是反码，进位之后由于1的作用使进位的部分全部取反及与原码相同，所以可以发现 lowbit 以前的部分 x 与其补码即 -x 相反， lowbit x 与 -x 都是1，lowbit 以后 x 与 -x 都是0 所以 x&-x 后除了 lowbit 位是1，其余位都是0。符合条件。

用lowbit运算统计1的个数

ans=0
while x:
	x-=x&(-x)
	ans+=1

例题

lanqiao1331 二进制中 1 的个数

lanqiao3691 区间或

lanqiao3440 异或森林