C语言-数据结构 无向图克鲁斯卡尔算法(Kruskal)邻接矩阵存储

news2024/11/19 13:39:08

        相比普里姆算法来说，克鲁斯卡尔的想法是从边出发，不管是理解上还是实现上都更简单，实现思路：我们先把找到所有边存到一个边集数组里面，并进行升序排序，然后依次从里面取出每一条边，如果不存在回路，就说明可以取，否则就跳过去看下一条边。其中看是否是回路这个操作利用到了并查集，就是判断新加入的这条边的两个顶点是否在同一个集合中，如果在就说明产生回路，如果没在同一个集合那么说明没有回路可以加入，这里只需要理解并查集中的查找、更新操作就行。并查集在上一篇博文里介绍过了，有需要的可以翻看，这里就不再具体介绍。

我们将创建下面的无向权值图：

84ef03cba4ba478383b338ae5884012a.png

  最小生成树示意图：

a60130ea5837483ba260f2b8a0ffa856.png

        邻接矩阵的绘制还是手动赋值上三角，并通过矩阵对称性生成整个邻接矩阵，其中最小生成树中需要用到权值，对应原本有边的地方之前我是用1表示，现在改成边对应的权值，之前的0表示没有边，现在改成99表示为无穷，其实应该换成更大的值以确保树的边权值都小于这个最大值，但为了方便对齐显示看邻接矩阵，就使用了比本图中各边长较大的99来表示最大值。

9eefaa5c866742cbb239f5f9de2aff7d.png

边集数组使用上三角矩阵生成，因为是无向图只需要取上三角或下三角就可以得到全部的边：

e5b3d526855e411bba85ad9d534ae6ca.png

获取边集数组代码：

// 从图的邻接矩阵中提取边，并按权重排序
Edge* GetEdges(MGraph G) {
	// 动态分配内存存储边
	Edge* Edges = (Edge*)malloc(sizeof(Edge) * G.numEdges);
	if (Edges == NULL) {
		printf("内存分配失败\n");
		exit(1);
	}

	int edgeIndex = 0;
	// 遍历邻接矩阵提取边
	for (int i = 0; i < G.numNodes; i++) {
		for (int j = i + 1; j < G.numNodes; j++) { // 从 i + 1 开始，避免重复的边
			if (G.arc[i][j] != 99) { // 99 表示没有边
				Edges[edgeIndex].begin = i;
				Edges[edgeIndex].end = j;
				Edges[edgeIndex].weight = G.arc[i][j];
				edgeIndex++;
			}
		}
	}

	// 按边的权重排序（冒泡排序）
	for (int i = 0; i < G.numEdges - 1; i++) {
		for (int j = 0; j < G.numEdges - i - 1; j++) {
			if (Edges[j].weight > Edges[j + 1].weight) {
				// 交换边
				Edge tmpEdge = Edges[j];
				Edges[j] = Edges[j + 1];
				Edges[j + 1] = tmpEdge;
			}
		}
	}

	return Edges;
}

        Kruskal算法代码：

// 查找节点所在集合的根
int Find(int parent[], int f) {
	while (parent[f] > 0) {
		f = parent[f];
	}
	return f;
}

// 使用 Kruskal 算法生成最小生成树
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G, Edge Edges[]) {
	int i, n, m;
	Edge edges[MAXEDGE]; // 声明边数组（可能用于存储生成树的边）
	int parent[MAXVEX]; // 记录每个节点的父节点
	// 初始化每个节点的父节点为 0
	for (i = 0; i < G.numNodes; i++) {
		parent[i] = 0;
	}
	printf("\n");
	// 遍历每条边
	for (i = 0; i < G.numEdges; i++) {
		n = Find(parent, Edges[i].begin);
		m = Find(parent, Edges[i].end);
		if (n != m) {
			// 如果两个端点不在同一集合中，则将边加入最小生成树
			parent[n] = m;
			printf("第%d条边为:(%c,%c) %d\n", i + 1, Array[Edges[i].begin], Array[Edges[i].end], Edges[i].weight);
		}
		// 打印当前边处理后的 parent 数组
		printf("循环第%d条边后parent的值为：", i + 1);
		for (int j = 0; j < MAXVEX; j++) {
			printf("%d-", parent[j]);
		}
		printf("\n\n");
	}
}

完整代码（包含邻接矩阵的创建，边集的创建,Kruskal算法）

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "math.h"  
#include "time.h"

// 禁用特定的警告
#pragma warning(disable:4996)

// 定义一些常量和数据类型
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXVEX 8 /* 最大顶点数，用户定义 */
#define MAXEDGE 10 /* 最大边数，用户定义 */
#define GRAPH_INFINITY 99 /* 用0表示∞，表示不存在边 */

/* 定义状态、顶点和边的类型 */
typedef int Status;  /* Status是函数的返回类型，如OK表示成功 */
typedef char VertexType; /* 顶点的类型，用字符表示 */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型，用整数表示 */
typedef int Boolean; /* 布尔类型 */
// 定义顶点标签
char Array[] = "ABCDEFGHI";
/* 访问标记数组 */
Boolean visited[MAXVEX];

/* 图的邻接矩阵结构体 */
typedef struct
{
	VertexType vexs[MAXVEX]; /* 顶点表 */
	EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; /* 邻接矩阵，表示边的权值 */
	int numNodes, numEdges; /* 图中当前的顶点数和边数 */
} MGraph;

/* 边集数组结构体,用于辅助克鲁斯卡尔算法 */
typedef struct {
	int begin;  // 边的起始顶点
	int end;    // 边的终止顶点
	int weight; // 边的权重
} Edge;

/* 创建一个无向网图的邻接矩阵表示 */
void CreateMGraph(MGraph* G)
{
	int i, j, k, w;

	// 初始化图的顶点数和边数
	G->numNodes = 8;
	G->numEdges = 10;

	

	// 初始化邻接矩阵和顶点表
	for (i = 0; i < G->numNodes; i++) {
		for (j = 0; j < G->numNodes; j++) {
			G->arc[i][j] = GRAPH_INFINITY; /* 初始化邻接矩阵为∞ */
		}
		G->vexs[i] = Array[i]; /* 初始化顶点表 */
	}

	G->arc[0][0] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[0][1] = 10;
	G->arc[0][2] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[0][3] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[0][4] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[0][5] = 11;
	G->arc[0][6] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[0][7] = GRAPH_INFINITY;

	G->arc[1][0] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[1][1] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[1][2] = 23;
	G->arc[1][3] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[1][4] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[1][5] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[1][6] = 12;
	G->arc[1][7] = GRAPH_INFINITY;

	G->arc[2][0] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[2][1] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[2][2] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[2][3] = 21;
	G->arc[2][4] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[2][5] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[2][6] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[2][7] = GRAPH_INFINITY;

	G->arc[3][0] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[3][1] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[3][2] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[3][3] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[3][4] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[3][5] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[3][6] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[3][7] = 11;

	G->arc[4][0] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[4][1] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[4][2] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[4][3] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[4][4] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[4][5] = 47;
	G->arc[4][6] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[4][7] = 80;

	G->arc[5][0] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[5][1] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[5][2] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[5][3] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[5][4] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[5][5] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[5][6] = 6;
	G->arc[5][7] = GRAPH_INFINITY;

	G->arc[6][0] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[6][1] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[6][2] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[6][3] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[6][4] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[6][5] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[6][6] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[6][7] = 8;

	G->arc[7][0] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[7][1] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[7][2] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[7][3] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[7][4] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[7][5] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[7][6] = GRAPH_INFINITY;
	G->arc[7][7] = GRAPH_INFINITY;

	// 由于是无向图，邻接矩阵是对称的，需要将其对称
	for (int i = 0; i < G->numNodes; i++) {
		for (int j = 0; j < G->numNodes; j++) {
			G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
		}
	}

	// 打印邻接矩阵
	printf("邻接矩阵为：\n");
	printf("     ");
	for (int i = 0; i < G->numNodes; i++) {
		printf("%2d ", i); /* 打印列索引 */
	}
	printf("\n     ");
	for (int i = 0; i < G->numNodes; i++) {
		printf("%2c ", G->vexs[i]); /* 打印顶点标签 */
	}
	printf("\n");
	for (int i = 0; i < G->numNodes; i++) {
		printf("%2d", i); /* 打印行索引 */
		printf("%2c ", G->vexs[i]); /* 打印顶点标签 */
		for (int j = 0; j < G->numNodes; j++) {
			if (G->arc[i][j] != 99) {
				printf("\033[31m%02d \033[0m", G->arc[i][j]); /* 打印邻接矩阵中的权值 */
			}
			else {
				printf("%02d ", G->arc[i][j]); /* 打印邻接矩阵中的权值 */
			}
		}
		printf("\n");
	}
}

// 从图的邻接矩阵中提取边，并按权重排序
Edge* GetEdges(MGraph G) {
	// 动态分配内存存储边
	Edge* Edges = (Edge*)malloc(sizeof(Edge) * G.numEdges);
	if (Edges == NULL) {
		printf("内存分配失败\n");
		exit(1);
	}

	int edgeIndex = 0;
	// 遍历邻接矩阵提取边
	for (int i = 0; i < G.numNodes; i++) {
		for (int j = i + 1; j < G.numNodes; j++) { // 从 i + 1 开始，避免重复的边
			if (G.arc[i][j] != 99) { // 99 表示没有边
				Edges[edgeIndex].begin = i;
				Edges[edgeIndex].end = j;
				Edges[edgeIndex].weight = G.arc[i][j];
				edgeIndex++;
			}
		}
	}

	// 按边的权重排序（冒泡排序）
	for (int i = 0; i < G.numEdges - 1; i++) {
		for (int j = 0; j < G.numEdges - i - 1; j++) {
			if (Edges[j].weight > Edges[j + 1].weight) {
				// 交换边
				Edge tmpEdge = Edges[j];
				Edges[j] = Edges[j + 1];
				Edges[j + 1] = tmpEdge;
			}
		}
	}

	return Edges;
}

// 打印边集数组
void EdgesPrint(Edge Edges[], int EdgeNumber) {
	// 打印标题行
	printf("\n\t边集数组\n");
	printf("\t  %-5s  %-5s %-7s\n", "begin", "end", "weight");
	// 打印每条边的详细信息
	for (int i = 0; i < EdgeNumber; i++) {
		printf("Edge[%d]   (%c)%-5d (%c)%-5d %-7d\n", i, Array[Edges[i].begin], Edges[i].begin, Array[Edges[i].end], Edges[i].end, Edges[i].weight);
	}
}

// 查找节点所在集合的根
int Find(int parent[], int f) {
	while (parent[f] > 0) {
		f = parent[f];
	}
	return f;
}

// 使用 Kruskal 算法生成最小生成树
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G, Edge Edges[]) {
	int i, n, m;
	Edge edges[MAXEDGE]; // 声明边数组（可能用于存储生成树的边）
	int parent[MAXVEX]; // 记录每个节点的父节点
	// 初始化每个节点的父节点为 0
	for (i = 0; i < G.numNodes; i++) {
		parent[i] = 0;
	}
	printf("\n");
	// 遍历每条边
	for (i = 0; i < G.numEdges; i++) {
		n = Find(parent, Edges[i].begin);
		m = Find(parent, Edges[i].end);
		if (n != m) {
			// 如果两个端点不在同一集合中，则将边加入最小生成树
			parent[n] = m;
			printf("第%d条边为:(%c,%c) %d\n", i + 1, Array[Edges[i].begin], Array[Edges[i].end], Edges[i].weight);
		}
		// 打印当前边处理后的 parent 数组
		printf("循环第%d条边后parent的值为：", i + 1);
		for (int j = 0; j < MAXVEX; j++) {
			printf("%d-", parent[j]);
		}
		printf("\n\n");
	}
}

int main(void)
{
	MGraph G;
	/* 创建图 */
	CreateMGraph(&G);
	//获取边集数组
	Edge * Edges =GetEdges(G);
	//打印边集数组
	EdgesPrint(Edges,G.numEdges);
	//使用克鲁斯卡尔算法
	MiniSpanTree_Kruskal(G, Edges);
	return 0;
}

运行结果（标黄色的就是没有加入最小生成树的边，即产生了回路）：

最小生成树示意图

a60130ea5837483ba260f2b8a0ffa856.png

8cdc61d98e2847d2b2f79ac6a7cfb6cb.png

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