Course1-Week2:
https://github.com/kaieye/2022-Machine-Learning-Specialization/tree/main/Supervised%20Machine%20Learning%20Regression%20and%20Classification/week2

1️⃣多元线性回归及矢量化

多元线性回归（multiple linear regression）

🎈对于一元线性回归问题，我们只是考虑将 Size 作为 input 的情况来得出房屋的价格。

🎈而在现实中考虑房屋价格的因素绝不止有一个，所以我们引入了多维特征（房屋大小，卧室的数量，楼层数量，房屋的年龄）四个维度的特征来得出房价，数据集及说明如下图：

对于这四个维度分别表示为 $x_1,x_2,x_3,x_4$ ，为了方便使用向量 $\vec{x}$ 来表示，即对于第 $i$ 组案例有 ${\vec{x}}^{(i)}=({x_1}^{(i)},{x_2}^{(i)},{x_3}^{(i)},{x_4}^{(i)})$，所以可以写出这样的线性回归方程：
✨ $f_{w,b}(x)=w_1{x}_1+w_2{x}_2+w_3{x}_3+w_4{x}_4+b$，而对于$w$也可用向量来表示 $\vec{w}=(w_1,w_2,w_3,w_4)$。

✨ 扩展到 $n$ 维，可以得出多元线性回归模型：
$$\begin{array}{rl}{f}_{\vec{w},b}(\vec{x})& =\vec{w}\cdot \vec{x}+b\\ & =w_1{x}_1+w_2{x}_2+...+w_n{x}_n+b\end{array}$$

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多元线性回归模型的梯度下降法

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矢量化（Vectorization）

🎈指在数值计算或机器学习中，将循环操作转换为向量或矩阵运算的过程。通过矢量化，可以利用现代处理器的并行计算能力，极大地提升代码的执行效率，尤其是在处理大量数据时。矢量化通常应用于使用 NumPy 或类似库来替代原本的显式循环（for-loop）操作。

🎈使用 NumPy 的 dot 函数去计算，很好地利用了处理器并行计算的能力，下面通过代码来演示显式循环和矢量化的性能差距。

# 引入库
import numpy as np    
import time

自定义一个函数用来显式循环计算

def my_dot(a, b): 
    """
   Compute the dot product of two vectors
 
    Args:
      a (ndarray (n,)):  input vector 
      b (ndarray (n,)):  input vector with same dimension as a
    
    Returns:
      x (scalar): 
    """
    x=0
    for i in range(a.shape[0]):
        x = x + a[i] * b[i]
    return x

print(a.shape[0])

用两个数组 $a,b$ 来模拟一下计算过程

np.random.seed(1)
a = np.random.rand(10000000)  # very large arrays
b = np.random.rand(10000000)

tic = time.time()  # capture start time
c = np.dot(a, b)
toc = time.time()  # capture end time

print(f"np.dot(a, b) =  {c:.4f}")
print(f"Vectorized version duration: {1000*(toc-tic):.4f} ms ")

tic = time.time()  # capture start time
c = my_dot(a,b)
toc = time.time()  # capture end time

print(f"my_dot(a, b) =  {c:.4f}")
print(f"loop version duration: {1000*(toc-tic):.4f} ms ")

del(a);del(b)  #remove these big arrays from memory

通过演示，可以明显看到两种计算方式之间的性能差距。

2️⃣特征缩放（Feature Scaling）

🎈对于不同的特征，例如房屋的大小和卧室数量两种参数，由于房屋的大小这个值是远远大于卧室数量的，如果当选择差不多大的 $w$ 时，bedrooms 这个参数对于代价的影响将微乎其微。如果想让两者的影响相当的话可能要让一方选择较大的 $w$，而另一方选择较小的 $w$ 去平衡对代价 $J$ 的影响。

🎈我们最好还是想让两个参数一视同仁，对代价有着同等的影响。

✨特征缩放起到了这个作用，本质上是将每个特征除以用户选定的一个值，让参数得到 -1 到 1 的范围。

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🎊还有两种方法也能达到目的：

✨均值归一化（Mean normalization）：
$$x_i=\frac{x_i-{\mu }_i}{max-min},{\mu }_i是所有特征x的平均值$$

✨Z-score标准化（Z-score normalization）：

To implement z-score normalization, adjust your input values as shown in this formula:
$${x_j}^{(i)}=\frac{{x_j}^{(i)}-{\mu }_j}{{\sigma }_j}$$
where $j$ selects a feature or a column in the X matrix. ${\mu }_j$ is the mean of all the values for feature(j) and ${\sigma }_j$ is the standard deviation of feature(j).

$${\mu }_j=\frac{1}{m}\sum _{i=0}^{m-1}{x_j}^{(i)}$$

$${{\sigma }_j}^2=\frac{1}{m}\sum _{i=0}^{m-1}({x_j}^{(i)}-{\mu }_j{)}^2$$

3️⃣学习率（Learning Rate）

🎈在梯度下降法中可以看到学习率 $\alpha$ 的使用，它能控制参数更新的大小，而 $\alpha$ 如果太小可能会导致梯度下降代价函数收敛的过程很缓慢；而 $\alpha$ 如果过大，很可能会导致代价函数发散。因此选取一个合适的 $\alpha$ 对模型来说是很重要的。

✨寻找 $\alpha$ 的一种方法，找一个过小的学习率，逐渐倍数找到个过大的学习率，再从其中寻找合适的 $\alpha$：

4️⃣特征工程（Feature Engineering）

🎈特征工程，是对原始数据进行一系列工程处理，将其提炼为特征，作为输入供算法和模型使用，而之前面对的特征都是线性，然而当面对的特征是非线性的或者是特征的组合又该怎么办？下面开始考虑数据非线性的场景。

如下是对房价预测的特征方程的考虑，显然都是多项式方程：

5️⃣多项式回归

# 导入Lab中的自定义函数和NumPy以及matplotlib 库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from lab_utils_multi import zscore_normalize_features, run_gradient_descent_feng
np.set_printoptions(precision=2)  # reduced display precision on numpy arrays

🎈我们开始尝试用已知的知识去拟合非线性曲线，例如：$y=1+x^2$ 。

对于一个有着平方关系的数据 $y$ ，使用线性回归去拟合：

# create target data
x = np.arange(0, 20, 1)
y = 1 + x**2
X = x.reshape(-1, 1)

model_w,model_b = run_gradient_descent_feng(X,y,iterations=1000, alpha = 1e-2)

plt.scatter(x, y, marker='x', c='r', label="Actual Value"); plt.title("no feature engineering")
plt.plot(x,X@model_w + model_b, label="Predicted Value");  plt.xlabel("X"); plt.ylabel("y"); plt.legend(); plt.show()

由此可见效果确实不太好，可以需要一个类似 $y=w_0{x}_0^2+b$ 的曲线，或者一个多项式特征。如果使用特征工程将 $x$ 换为 $x^2$ 的话看看效果会不会更好。

# create target data
x = np.arange(0, 20, 1)
y = 1 + x**2

# Engineer features 
X = x**2      #<-- added engineered feature

X = X.reshape(-1, 1)  #X should be a 2-D Matrix
model_w,model_b = run_gradient_descent_feng(X, y, iterations=10000, alpha = 1e-5)

plt.scatter(x, y, marker='x', c='r', label="Actual Value"); plt.title("Added x**2 feature")
plt.plot(x, np.dot(X,model_w) + model_b, label="Predicted Value"); plt.xlabel("x"); plt.ylabel("y"); plt.legend(); plt.show()

🎉我们获得了一个很好的拟合曲线，$y=1\ast x_0^2+0.049$，非常接近目标 $y=1\ast x_0^2+1$，如果迭代更久效果可能会更好。

✨当对于不是很明显的特征关系，我们可以尝试添加各种潜在的特征来找到一个最合适的拟合曲线，这就是特征工程。我们也许会找到类似 $y=w_0{x}_0+w_1{x}_1^2+w_2{x}_2^3+b$ 这种形式。如果对于数据集有着明显不同规模的尺寸，别忘了我们还有特征缩放，让每个特征的影响大致不差，并且可以加速梯度下降的过程同时收敛各个参数。

6️⃣Scikit-Learn

官网：https://scikit-learn.org/stable/index.html

🎈Scikit-learn 是一个强大开源的机器学习 Python 库，它建立在 NumPy、SciPy 和 Matplotlib 之上，提供了大量的机器学习算法和工具，用于机器学习和数据分析。它包含了一系列简单易用且高效的工具，用于分类、回归、聚类、降维、模型选择和预处理等。

下面来利用 Scikit-Learn 使用梯度下降实现线性回归。

# You will utilize functions from scikit-learn as well as matplotlib and NumPy.
import numpy as np
np.set_printoptions(precision=2)
from sklearn.linear_model import LinearRegression, SGDRegressor
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from lab_utils_multi import  load_house_data
import matplotlib.pyplot as plt
dlblue = '#0096ff'; dlorange = '#FF9300'; dldarkred='#C00000'; dlmagenta='#FF40FF'; dlpurple='#7030A0'; 
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')

Scikit-learn 有一个梯度下降回归模型 sklearn.linear_model.SGDRegressor，该模型在标准化输入时表现最佳。而 sklearn.preprocessing.StandardScaler 可以实现 Z-score 标准化。

# Load the data set
X_train, y_train = load_house_data()
X_features = ['size(sqft)','bedrooms','floors','age']

使用 sklearn.preprocessing.StandardScaler 将训练集标准化

scaler = StandardScaler()
X_norm = scaler.fit_transform(X_train)
print(f"Peak to Peak range by column in Raw        X:{np.ptp(X_train,axis=0)}")   
print(f"Peak to Peak range by column in Normalized X:{np.ptp(X_norm,axis=0)}")

使用 sklearn.linear_model.SGDRegressor 创建并拟合回归模型。

sgdr = SGDRegressor(max_iter=1000)
sgdr.fit(X_norm, y_train)
print(sgdr)
print(f"number of iterations completed: {sgdr.n_iter_}")

对比一下之前的 Lab 的模型参数

b_norm = sgdr.intercept_
w_norm = sgdr.coef_
print(f"model parameters:                   w: {w_norm}, b:{b_norm}")
print(f"model parameters from previous lab: w: [110.56 -21.27 -32.71 -37.97], b: 363.16")

做出预测

# make a prediction using sgdr.predict()
y_pred_sgd = sgdr.predict(X_norm)
# make a prediction using w,b. 
y_pred = np.dot(X_norm, w_norm) + b_norm  
print(f"prediction using np.dot() and sgdr.predict match: {(y_pred == y_pred_sgd).all()}")

print(f"Prediction on training set:\n{y_pred[:4]}" )
print(f"Target values \n{y_train[:4]}")

绘制预测值与目标值的关系图

# plot predictions and targets vs original features    
fig,ax=plt.subplots(1,4,figsize=(12,3),sharey=True)
for i in range(len(ax)):
    ax[i].scatter(X_train[:,i],y_train, label = 'target')
    ax[i].set_xlabel(X_features[i])
    ax[i].scatter(X_train[:,i],y_pred,color=dlorange, label = 'predict')
ax[0].set_ylabel("Price"); ax[0].legend();
fig.suptitle("target versus prediction using z-score normalized model")
plt.show()

✨恭喜你，已初次使用开源机器学习包 scikit-learn，并知道了如何使用工具包中的 梯度下降 SGDRegressor 和 特征归一化 StandardScaler 实现线性回归。