华为OD机试 - 伐木工 - 动态规划（Java 2024 E卷 200分）

news2025/1/11 21:06:33

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专栏导读

本专栏收录于《华为OD机试（JAVA）真题（E卷+D卷+A卷+B卷+C卷）》。

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一、题目描述

一根X米长的树木，伐木工切割成不同长度的木材后进行交易，交易价格为每根木头长度的乘积。规定切割后的每根木头长度都为正整数；也可以不切割，直接拿整根树木进行交易。

请问伐木工如何尽量少的切割，才能使收益最大化？

二、输入描述

木材的长度（X ≤ 50）

三、输出描述

输出最优收益时的各个树木长度，以空格分隔，按升序排列

四、测试用例

测试用例1：

1、输入

2、输出

3 3 4

3、说明

一根2米长的树木，伐木工不切割，为2 * 1，收益最大为2。
一根4米长的树木，伐木工不需要切割为2 * 2，省去切割成本，直接整根树木交易，为4 * 1，收益最大为4。
一根5米长的树木，伐木工切割为2 * 3，收益最大为6。
一根10米长的树木，伐木工可以切割方式一：3, 4, 3, 也可以切割为方式二：3, 2, 2, 3，但方式二伐木工多切割一次，增加切割成本却买了一样的价格，因此并不是最优收益。

测试用例2：

1、输入

2、输出

2 3

3、说明

长度为5的木材，最优切割方案是将其切割成两段：长度为2和3。

方案1：5 = 2 + 3，收益为 2 × 3 = 6，切割次数为1。

其他切割方案如：5 = 1 + 4 或 5 = 5，都无法获得更高的收益。

因此输出结果为 2 3，代表最优收益的木材切割长度。

五、解题思路

1、动态规划

题目要求通过切割木材来最大化收益，这属于动态规划问题。

动态规划的状态定义为：dp[i] 记录长度为 i 的木材的最大收益及其切割方案。

通过遍历所有可能的切割点，并比较不同的切割方案来更新 dp 表，从而得到最终的最优解。

2、具体解题步骤：

Wood 类定义了每段木材的最大收益 maxProfit 和对应的切割方案 cutLengths。
对于每一段长度 i 的木材，初始情况下不切割的最大收益是 i，并将它添加到 cutLengths 列表中。
外层循环 currentLength 遍历所有可能的木材长度，内层循环 cutPosition 通过尝试所有可能的切割位置计算木材的最大收益。如果新的切割方案的收益更高，或者收益相同但切割次数更少，更新动态规划数组 dp。
最后对得到的最优切割方案进行升序排列，并输出。

3、核心算法（动态规划思路）：

对于长度为 i 的木材，遍历所有可能的切割点 j（从1到 i-1），考虑将木材切割成两段 j 和 i-j 的情况，计算切割后的总收益：newProfit = dp[j].profit * dp[i - j].profit
如果 newProfit 比 dp[i].profit更大，或者收益相同但切割次数更少（切割次数由 slices.size() 来衡量），则更新 dp[i]：
更新 dp[i].profit 为 newProfit。
更新 dp[i].slices 为 dp[j].slices 与 dp[i - j].slices的合并。

六、Java算法源码

public class OdTest01 {
    // 定义Wood类，用于记录最大收益和对应的切割方案
    static class Wood {
        int maxProfit; // 最大收益
        ArrayList<Integer> cutLengths = new ArrayList<>(); // 对应的切割方案
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int woodLength = scanner.nextInt(); // 输入木材的总长度

        Wood[] dp = new Wood[woodLength + 1]; // 动态规划数组，记录每个长度木材的最大收益和切割方案

        // 初始化动态规划数组，每个长度的木材初始收益为不切割时的收益
        for (int i = 0; i <= woodLength; i++) {
            dp[i] = new Wood();
            dp[i].maxProfit = i;
            dp[i].cutLengths.add(i);
        }

        // 动态规划计算每个长度木材的最大收益及其切割方案
        for (int currentLength = 2; currentLength <= woodLength; currentLength++) {
            for (int cutPosition = 1; cutPosition < currentLength; cutPosition++) {
                int newProfit = dp[cutPosition].maxProfit * dp[currentLength - cutPosition].maxProfit;

                // 如果当前切割方案的收益更大，或者收益相同但切割次数更少，则更新切割方案
                if (newProfit > dp[currentLength].maxProfit
                        || (newProfit == dp[currentLength].maxProfit
                        && dp[currentLength].cutLengths.size() > dp[cutPosition].cutLengths.size() + dp[currentLength - cutPosition].cutLengths.size())) {
                    dp[currentLength].maxProfit = newProfit;
                    dp[currentLength].cutLengths.clear();
                    dp[currentLength].cutLengths.addAll(dp[cutPosition].cutLengths);
                    dp[currentLength].cutLengths.addAll(dp[currentLength - cutPosition].cutLengths);
                }
            }
        }

        // 对最终的切割方案进行升序排序
        dp[woodLength].cutLengths.sort(Integer::compareTo);

        // 打印最终的切割方案
        StringJoiner result = new StringJoiner(" ");
        for (int length : dp[woodLength].cutLengths) {
            result.add(Integer.toString(length));
        }

        System.out.println(result);
    }
}