RPY角的具体描述

news2024/11/8 1:33:59

目录

一、 RPY角度

二、左乘与右乘

三、xyz固定角和zyx欧拉角旋转矩阵等价

四、参考文献


一、 RPY角度

1.1、X-Y-Z固定角[1]
        首先将坐标系{B}和一个已知参考坐标系{A}重合。先将{B}绕\hat{x}_A旋转γ角,在绕\hat{Y}_A旋转β角,在绕\hat{Z}_A旋转α角,每次旋转都是绕着固定参考坐标系{A}的轴。如图1所示。
        同时将γ角、β角和α角成为偏转角(yaw)、俯仰角(pitch)和回转角(roll)。

图1 

1.2、滚动角、俯仰角和偏航角[2]
        旋转按照x-y-z的顺序进行,首先绕x_0轴偏航\psi角度,接下来绕y_0轴俯仰\Theta角度,最后绕z_0轴滚动\phi角度。滚动(roll)、俯仰(pitch)、偏航(yaw)。 如图2所示。
        备注:认为书中将x和z的偏航和滚动写反了,故更改过来。

图2 

1.3 绕固定轴x-y-z旋转(RPY角度)[3]
        RPY角是描述船舶在海中航行时姿态的一种方法。将船的行驶方向取为z轴的方向,则绕z轴的旋转(α角)称为回转(roll),绕y轴的旋转(β角)称为俯仰(pitch),绕x轴的旋转(γ角)称为偏转(yaw)。如图3所示。
        备注:船舶在海中航行时姿态是当对于固定坐标系,所以xyz称为固定角。xyz与左乘顺序有关。

图3 

1.4  RPY角[4]
        RPY角也可以描述飞行器姿态的典型改变。ZYX角也称为滚动-俯仰-偏航角。如图4所示。
备注:飞行器姿态是相对于当前坐标系的描述。所以称ZYX角称为欧拉角。ZYX与右乘顺序有关。

图4 

总结:
(1)、1.1、1.2和1.3是当对于固定坐标系xyz描述的RPY角。
(2)、1.4是相对于欧拉角zyx描述的RPY角。但是他们最终的结果是一样的。
 

二、左乘与右乘

(1)、当两个坐标系原点重合,矢量描述由坐标系{B}变换到坐标系{A}时,如果A为固定坐标系时,我们仅需要左乘旋转矩阵即可

_{}^{A}\textrm{}P= _{C}^{A}\textrm{}T(_{B}^{C}\textrm{}T_{}^{B}\textrm{}P) 

 备注:左乘可以理解为先进行括号里面的,更新完坐标系后,在进行下一次变换

(2)、矢量描述由坐标系{D}变换到坐标系{U}时。此时需要根据坐标系变换方程来进行变换。坐标系{D}可以通过两种形式来表达变换。如图5所示。

{_{D}^{U}\textrm{}}T={_{A}^{U}\textrm{}}T{_{A}^{U}\textrm{}}T  第一种

 {_{D}^{U}\textrm{}}T={_{B}^{U}\textrm{}}T{_{C}^{B}\textrm{}}T{_{D}^{C}\textrm{}}T   第二种

{_{A}^{U}\textrm{}}T{_{D}^{A}\textrm{}}T={_{B}^{U}\textrm{}}T{_{C}^{B}\textrm{}}T{_{D}^{C}\textrm{}}T   变换方程

_{}^{U}\textrm{}P= ({_{A}^{U}\textrm{}}T{_{D}^{A}\textrm{}}T )_{}^{D}\textrm{}P_{}^{U}\textrm{}P= ({_{B}^{U}\textrm{}}T{_{C}^{B}\textrm{}}T{_{D}^{C}\textrm{}}T)_{}^{D}\textrm{}P

 备注:右乘可以理解为多次变换可以计算完成后,在进行坐标系变换。

图5  

三、xyz固定角和zyx欧拉角旋转矩阵等价

当xyz固定角时,先绕哪个轴就先在坐标系左侧乘旋转矩阵进行变换。

当zyx欧拉角时,因为坐标系姿态变换为右乘,同时可以先完成变换,在左乘坐标系进行变换。 

所以xyz固定角和zyx欧拉角旋转矩阵等价。旋转矩阵如图6所示。

图6 


四、参考文献

[1].机器人学导论(原书第四版)
[2].机器人建模和控制
[3].机器人学建模、控制和视觉(第2版).熊有伦、李文龙 
[4].机器人学建模、规划和控制

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