RPY角的具体描述

news2024/9/20 14:23:36

一、 RPY角度

二、左乘与右乘

三、xyz固定角和zyx欧拉角旋转矩阵等价

四、参考文献

一、 RPY角度

1.1、X-Y-Z固定角[1]
首先将坐标系{B}和一个已知参考坐标系{A}重合。先将{B}绕 $\hat{x}_A$ 旋转γ角，在绕 $\hat{Y}_A$ 旋转β角，在绕 $\hat{Z}_A$ 旋转α角，每次旋转都是绕着固定参考坐标系{A}的轴。如图1所示。
同时将γ角、β角和α角成为偏转角(yaw)、俯仰角(pitch)和回转角(roll)。

图1

1.2、滚动角、俯仰角和偏航角[2]
旋转按照x-y-z的顺序进行，首先绕 $x_0$ 轴偏航 $\psi$ 角度，接下来绕 $y_0$ 轴俯仰 $\Theta$ 角度，最后绕 $z_0$ 轴滚动 $\phi$ 角度。滚动(roll)、俯仰(pitch)、偏航(yaw)。如图2所示。
备注：认为书中将x和z的偏航和滚动写反了，故更改过来。

图2

1.3 绕固定轴x-y-z旋转(RPY角度)[3]
RPY角是描述船舶在海中航行时姿态的一种方法。将船的行驶方向取为z轴的方向，则绕z轴的旋转(α角)称为回转(roll)，绕y轴的旋转(β角)称为俯仰(pitch)，绕x轴的旋转(γ角)称为偏转(yaw)。如图3所示。
备注：船舶在海中航行时姿态是当对于固定坐标系，所以xyz称为固定角。xyz与左乘顺序有关。

图3

1.4 RPY角[4]
RPY角也可以描述飞行器姿态的典型改变。ZYX角也称为滚动-俯仰-偏航角。如图4所示。
备注：飞行器姿态是相对于当前坐标系的描述。所以称ZYX角称为欧拉角。ZYX与右乘顺序有关。

图4

总结：
(1)、1.1、1.2和1.3是当对于固定坐标系xyz描述的RPY角。
(2)、1.4是相对于欧拉角zyx描述的RPY角。但是他们最终的结果是一样的。

二、左乘与右乘

(1)、当两个坐标系原点重合，矢量描述由坐标系{B}变换到坐标系{A}时，如果A为固定坐标系时，我们仅需要左乘旋转矩阵即可

$_{}^{A}\textrm{}P= _{C}^{A}\textrm{}T(_{B}^{C}\textrm{}T_{}^{B}\textrm{}P)$

备注：左乘可以理解为先进行括号里面的，更新完坐标系后，在进行下一次变换

(2)、矢量描述由坐标系{D}变换到坐标系{U}时。此时需要根据坐标系变换方程来进行变换。坐标系{D}可以通过两种形式来表达变换。如图5所示。

${_{D}^{U}\textrm{}}T={_{A}^{U}\textrm{}}T{_{A}^{U}\textrm{}}T$ 第一种

${_{D}^{U}\textrm{}}T={_{B}^{U}\textrm{}}T{_{C}^{B}\textrm{}}T{_{D}^{C}\textrm{}}T$ 第二种

${_{A}^{U}\textrm{}}T{_{D}^{A}\textrm{}}T={_{B}^{U}\textrm{}}T{_{C}^{B}\textrm{}}T{_{D}^{C}\textrm{}}T$ 变换方程

$_{}^{U}\textrm{}P= ({_{A}^{U}\textrm{}}T{_{D}^{A}\textrm{}}T )_{}^{D}\textrm{}P$ 或 $_{}^{U}\textrm{}P= ({_{B}^{U}\textrm{}}T{_{C}^{B}\textrm{}}T{_{D}^{C}\textrm{}}T)_{}^{D}\textrm{}P$