一、基本概念

        整数规划是一种特殊的线性规划，其中某些或所有决策变量必须是整数。线性规划的概念可以阅读下面文章：

数模方法论-线性规划-CSDN博客https://blog.csdn.net/qq_41489047/article/details/142134282          这种方法用于解决那些要求解变量为整数的优化问题，例如资源分配、调度问题或网络设计。整数规划可以分为两类：

• 整数线性规划（ILP）：所有决策变量都是整数。
• 混合整数线性规划（MILP）：只有部分决策变量是整数，其余的可以是连续的。

        整数规划是运筹学和优化中的一个重要领域，它涉及在优化问题中要求某些或所有变量为整数。整数规划问题通常比普通的线性规划问题更复杂，因为整数约束使得问题变成了组合优化问题。整数规划在实际中应用广泛，包括：

• 生产调度：安排生产任务以优化资源使用。
• 运输和物流：设计高效的运输路线。
• 资源分配：如项目选择或资金分配问题。
• 网络设计：优化通信或电力网络布局。

二. 整数规划类型和实际问题

1、整数规划类型

• 纯整数规划（Pure Integer Programming, IP）：所有决策变量都为整数。

• 混合整数规划（Mixed-Integer Programming, MIP）：只有一部分变量为整数，其余为连续。

• 0-1 整数规划（Binary Integer Programming）：变量只能取0或1的值。

  

2、实际问题

• 约束条件互斥类问题

• 固定费用问题

• 指派类问题

三. 求解方法

常见的求解方法包括：

• 分支定界法（Branch and Bound）：通过递归地分解问题并使用界限来剪枝。
• 割平面法（Cutting Plane Method）：通过添加约束来改善解的可行性。
• 启发式算法：如遗传算法、模拟退火等。

四. 计算机求解实例

例题一

 Python代码： 

import numpy as np
from pulp import LpProblem, LpVariable, lpSum, LpMinimize, value

# 定义目标函数系数
c = np.array([
    [3, 8, 2, 10, 3],
    [8, 7, 2, 9, 7],
    [6, 4, 2, 7, 5],
    [8, 4, 2, 3, 5],
    [9, 10, 6, 9, 10]
])
c = c.flatten()

# 创建整数规划问题
prob = LpProblem("Integer_Programming_Problem", LpMinimize)

# 定义决策变量
x = LpVariable.dicts("x", (range(25)), cat='Binary')

# 定义目标函数
prob += lpSum(c[i] * x[i] for i in range(25))

# 定义约束条件
# 约束：每行和每列的和必须为1
for i in range(5):
    prob += lpSum(x[i*5+j] for j in range(5)) == 1  # 行约束
    prob += lpSum(x[j*5+i] for j in range(5)) == 1  # 列约束

# 求解问题
prob.solve()

# 提取并显示结果
solution = np.array([value(x[i]) for i in range(25)])
solution = solution.reshape((5, 5))

print("Optimal solution:")
print(solution)

  Matlab代码： 

clc, clear
c=[3 8 2 10 3;8 7 2 9 7;6 4 2 7 5
   8 4 2 3 5;9 10 6 9 10];
c=c(:); a=zeros(10,25); intcon=1:25;
for i=1:5
   a(i,(i-1)*5+1:5*i)=1;
   a(5+i,i:5:25)=1;
end
b=ones(10,1); lb=zeros(25,1); ub=ones(25,1);
x=intlinprog(c,intcon,[],[],a,b,lb,ub);
x=reshape(x,[5,5])

例题二 

Python代码： 

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

# 定义目标函数
f = [-3, -2, -1]

# 定义约束条件
A = [np.ones(3)]  # 等价于 a
b = [7]
A_eq = [[4, 2, 1]]
b_eq = [12]

# 定义变量的上下界
lb = [0, 0, 0]
ub = [np.inf, np.inf, 1]  # 这里 x3 的上下界是 0 到 1

# 将不等式约束合并为一个矩阵
bounds = [(lb[i], ub[i]) for i in range(len(lb))]

# 解决整数规划问题
res = linprog(c=f, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=bounds, method='highs')

# 打印结果
print("Optimal value:", res.fun)
print("Optimal solution:", res.x)

MATLAB代码

clc, clear
f=[-3;-2;-1]; intcon=3; %整数变量的地址
a=ones(1,3); b=7;
aeq=[4 2 1]; beq=12;
lb=zeros(3,1); ub=[inf;inf;1]; %x(3)为0-1变量
x=intlinprog(f,intcon,a,b,aeq,beq,lb,ub)