【代码随想录训练营第42期 Day55打卡 - 图论Part5

【代码随想录训练营第42期 Day55打卡 - 图论Part5 - 并查集的应用

news2024/9/25 1:22:37

一、并查集

适用范围

三大基本操作

二、经典题目

题目：卡码网 107. 寻找存在的路径

题目链接

题解：并查集

三、小结

一、并查集

适用范围

动态连通性问题：并查集可以判断两个节点是否在同一个连通分量中，这在处理网络连接、社交网络关系、图的连通性等场景中非常有用。

例如，在一个无向图中，可以快速判断两个顶点是否通过某些边相连。
图的简化：通过并查集，可以将一个图简化为若干个连通分量，每个连通分量可以看作一个超级节点，从而简化图的表示和分析。
网络延迟最小化：在网络中，通过并查集可以找到两点之间的最短路径，从而实现网络延迟的最小化。
等价类划分：并查集可以用于将元素划分为等价类，例如在编译原理中的符号表合并、类型检查等。
检测和处理成环问题：在某些问题中，需要检测是否存在环，并查集可以用于这类检测。

三大基本操作

1.初始化（Init）：

初始化并查集，通常为每个元素创建一个单元素集合。

每个元素指向自己作为父节点，表示它是自己的集合的代表。

2.查找（Find）：

查找元素所在的集合的代表（根节点）。

通常伴随着路径压缩优化，以加速后续的查找操作。

这里注意：路径压缩是指在查找一个节点的根节点时，将路径上的所有节点直接连接到根节点上。这样，下次查找这些节点时，可以直接到达根节点，而不需要再次遍历整个路径。

3.合并（Join或者Union）：

将两个元素所在的集合合并为一个集合。

通常通过将一个集合的代表指向另一个集合的代表来实现。

并查集模板如下（几个基本操作）：

void init()            //初始化
{
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        father[i] = i;           
}

int find(int u)    //查找
{
    if (u != father[u])              
        father[u] = find(father[u]); 
    return father[u];                
}

bool isSame(int u, int v)    //判断两节点是否同一根节点（是否连通）
{
    int rootu = find(u);
    int rootv = find(v);
    return rootu == rootv;
}

void join(int u, int v)    //合并
{
    int rootu = find(u); 
    int rootv = find(v); 
    if (rootu != rootv)
        father[rootv] = rootu; 
}

二、经典题目

题目：卡码网 107. 寻找存在的路径

题目链接

107. 寻找存在的路径 (kamacoder.com)

题目描述

给定一个包含 n 个节点的无向图中，节点编号从 1 到 n （含 1 和 n ）。

你的任务是判断是否有一条从节点 source 出发到节点 destination 的路径存在。

输入描述

第一行包含两个正整数 N 和 M，N 代表节点的个数，M 代表边的个数。

后续 M 行，每行两个正整数 s 和 t，代表从节点 s 与节点 t 之间有一条边。

最后一行包含两个正整数，代表起始节点 source 和目标节点 destination。

输出描述

输出一个整数，代表是否存在从节点 source 到节点 destination 的路径。如果存在，输出 1；否则，输出 0。

输入示例
5 4
1 2
1 3
2 4
3 4
1 4
输出示例
1
提示信息

数据范围：

1 <= M, N <= 100。

题解：并查集

这就是上边提到的适用范围的第一种：动态连通性问题 -- 判断两个顶点是否通过某些边相连。

其实就是模板的简单套用，最终只需要判断题目要求的节点 source 和节点 destination是否连通即可。

简述一下三大基本操作（含具体注释）：

初始化：

// 并查集初始化
void init()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++) // 注意本题节点是从1到n
        father[i] = i;           // 初始化每个节点的父节点指向自己
}

查找：

// 并查集里寻找该节点的根节点（带路径压缩）
int find(int u)
{
    if (u != father[u])              // 如果当前节点不是根节点，就会递归地调用 find 函数来找到根节点，并将沿途的所有节点的父节点设置为根节点
        father[u] = find(father[u]); // 路径压缩：将u的父节点设置为u的根节点
    return father[u];                // 返回u的根节点
}

合并：

// join 函数用于合并两个节点所在的集合：将v->u这条边加入并查集
void join(int u, int v)
{
    int rootu = find(u); // u的根节点
    int rootv = find(v); // v的根节点
    if (rootu != rootv)
        father[rootv] = rootu; // 将v-u这条边加入并查集：将节点 v 的根节点（也是 v 所在集合的代表）的父节点设置为 u 的根节点。这样，v 的根节点及其所有子节点（包括 v）现在都属于以 u 的根节点为代表的集合
}

完整代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;                                    // 节点数量
vector<int> father = vector<int>(101, 0); // 并查集数据结构：节点编号从1到n，而题目节点个数最大为100 -- 故初始化大小101

// 并查集初始化
void init()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++) // 注意本题节点是从1到n
        father[i] = i;           // 初始化每个节点的父节点指向自己
}

// 并查集里寻找该节点的根节点（带路径压缩）
int find(int u)
{
    if (u != father[u])              // 如果当前节点不是根节点，就会递归地调用 find 函数来找到根节点，并将沿途的所有节点的父节点设置为根节点
        father[u] = find(father[u]); // 路径压缩：将u的父节点设置为u的根节点
    return father[u];                // 返回u的根节点
}

// 判断u和v是否找到同一个根节点 -- 是否在同一个集合中
bool isSame(int u, int v)
{
    int rootu = find(u);
    int rootv = find(v);
    return rootu == rootv;
}

// join 函数用于合并两个节点所在的集合：将v->u这条边加入并查集
void join(int u, int v)
{
    int rootu = find(u); // u的根节点
    int rootv = find(v); // v的根节点
    if (rootu != rootv)
        father[rootv] = rootu; // 将v-u这条边加入并查集：将节点 v 的根节点（也是 v 所在集合的代表）的父节点设置为 u 的根节点。这样，v 的根节点及其所有子节点（包括 v）现在都属于以 u 的根节点为代表的集合
}

int main()
{
    int m, s, t, source, destination;
    cin >> n >> m;
    init(); // 初始化并查集
    while (m--)
    {
        cin >> s >> t;
        join(s, t); // 将s和t所在的集合合并（即将s-t这条边加入并查集）
    }
    cin >> source >> destination;
    if (isSame(source, destination)) // 判断这两个节点是否在同一个集合中（是否连通）-- 有同一个根
        cout << 1 << endl;
    else
        cout << 0 << endl;
}