COCI2016-2017#1 Kralj

题目描述

背景

精灵王将$n$个精灵编号为$1,\cdots ,n$，矮人王将$n$个矮人围成一个圆环，从某个矮人开始顺时针编号为$1,\cdots ,n$
接着精灵王为每个精灵分配一个数字$a_i$，表示将与其决斗的矮人编号，不同精灵分配到的数字可能相同
双方决定：

1. 精灵王选出一个尚未确定对手的精灵，设其编号为$i$
2. 若编号为$a_i$的矮人尚未确定对手，则将其作为这个精灵的对手，否则从编号为$a_i$的矮人开始，选择沿圆环顺时针方向第一个尚未确定对手的矮人作为这个精灵的对手
3. 重复以上步骤直到所有精灵及矮人都确定了对手
   精灵王知道所有精灵和矮人的力量，决斗时，力量大的一方获胜，它想知道通过规划选择精灵的顺序，最多能有多少精灵在决斗中获胜

输入

1. 第一行一个整数$n$；
2. 第二行$n$个整数$a_I$；
3. 第三行$n$个整数$p_i$，表示编号$i$的矮人的力量值；
4. 第四行$n$个整数$v_i$，表示编号$i$的精灵的力量值

输出

一个整数，表示最多有多少精灵能在决斗中获胜

数据范围

$1\le n\le 5e5,1\le a_i\le n,1\le p_i,v_i\le 1e9$

题解

解法

如果矮人没有围成一个圆环，而是排成一列，那么可以考虑贪心，对于第一个矮人，让分配到他且可以战胜他的精灵中力量值最小的与其决斗即可，若分配到他的精灵都不可以战胜他，那么让其中力量值最小的与其决斗即可，对于第二个矮人，需要在本来分配到他的精灵中再加上分配到第一个矮人却没有与其决斗的精灵，而后执行同样的贪心操作，并依此类推
但是围成一个圆环后，即使是第一个矮人也可能有精灵沿着顺时针方向继承到他这，所以需要找到真正的第一个矮人，也就是说这个矮人不可能有精灵沿着顺时针方向继承到他这
定义一个数组$num[]$，$num[i]$表示分配到编号$i$矮人的精灵数量，求其前缀和得到$sum[]$
对于编号$i(i>1)$矮人，为使分配到编号$i-1$矮人的精灵不继承到他这，需满足$sum[i-1]-sum[i-2]\le 1$，在此基础上，为使分配到编号$i-1$和$i-2$矮人的精灵不继承到编号$i$矮人处，还需满足$sum[i-1]-sum[i-3]\le 2$
依此类推，为使分配到编号$i-1,i-2,\cdots ,1$矮人的精灵不继承到编号$i$矮人处，需满足$sum[i-1]-sum[i-2]\le 1,\cdots ,sum[i-1]-sum[0]\le i-1$，任取其中一式记作$sum[i-1]-sum[k]\le i-1-k(0\le k\le i-2)$，移项得$sum[i-1]-(i-1)\le sum[k]-k(0\le k\le i-2)$
在此基础上，为使分配到编号$n,\cdots ,i+1$矮人的精灵不继承到编号$i$矮人处，同理，任取需满足的式子中一式记作$sum[i-1]+sum[n]-sum[k]\le i-1+n-k(i\le k\le n-1)$，移项得$sum[i-1]-(i-1)\le sum[k]-sum[n]+n-k$，又$sum[n]=n$，所以得$sum[i-1]-(i-1)\le sum[k]-k(i\le k\le n-1)$
综上所述，需满足$sum[i-1]-(i-1)\le sum[k]-k(0\le k\le i-2,i\le k\le n-1)$，又因为$sum[0]-0=0=sum[n]-n$，所以$1\le k\le i-2,i\le k\le n$
因此$sum[i]-i$最小时对应的$i+1$即为真正的第一个矮人，从该矮人开始应用贪心即可
可以使用$vector$数组记录分配到每个编号的矮人的精灵的力量值，从真正的第一个矮人开始依次贪心时，使用$multiset$记录可以与当前矮人对决的精灵的力量值分别是多少
代码如下：

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<set>

using namespace std;

#define il inline

const int M = 5e5 + 5;

int n;
int sum[M], a[M], p[M];
vector<int> vec[M];
int mnn = M, pos, ans;
multiset<int> S;

il int read() {
    int x = 0;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), c = getchar();
    return x;
}

int main() {
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) ++sum[a[i] = read()];     //为了方便，把num和sum合成了一个
    for(int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) vec[a[i]].push_back(read());

    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        if((sum[i] += sum[i - 1]) - i < mnn) mnn = sum[i] - i, pos = i;     //pos就是解法中最后的i

    int i = pos = ++pos > n ? 1 : pos;     //使pos变为解法中最后的i + 1
    do {
        for(const int& v: vec[i]) S.insert(v);
        auto it = S.lower_bound(p[i]);
        if(it != S.end()) S.erase(it), ++ans;
        else S.erase(S.begin());
        ++i> n ? i = 1 : 1;     //其实就是一个if，最后的1占个位置
    } while(i != pos);

    printf("%d", ans);

    return 0;
}

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