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前言

杨辉三角是数学中一个非常有趣且重要的概念。它不仅在组合数学中扮演着重要角色，还在许多数学问题的解决中提供了有力的工具。杨辉三角的每个数字都代表着组合数，并且这些数字通过简单的递推规则生成，使得它在数学和计算中具有广泛的应用。了解杨辉三角的基本概念、构建方法以及其数学性质，可以帮助我们更好地掌握组合数学的核心内容。

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杨辉三角介绍

杨辉三角是一个数学中的数表，它以中国古代数学家杨辉的名字命名。杨辉三角是一种特殊的三角形数组，其中每一个数字都是其上方两个数字的和。它广泛应用于组合数学、概率论和二项式定理等领域。

杨辉三角的结构

杨辉三角的每一行的数字可以通过以下规则生成：

• 顶端的第 0 行只有一个数字 1。
• 每一行的第一个和最后一个数字都是 1。
• 其他位置的数字是其上一行对应位置的两个数字之和。

例如，杨辉三角的前几行如下所示：

数学中的形式

杨辉三角中的第 ( n ) 行的第 ( k ) 个元素（从 0 开始计数）可以用组合数来表示，即：

其中，
代表从 (n) 个元素中选取 (k) 个的组合数。

杨辉三角的性质

1. 对称性：杨辉三角是对称的，即 (\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k})。
2. 边界元素：每行的第一个和最后一个元素都是 1。
3. 和的规律：第 (n) 行的所有元素之和是 (2^n)。

杨辉三角不仅在理论数学中有广泛应用，在实际计算中也提供了许多有用的工具。

杨辉三角进行左对齐

杨辉三角左对齐如下图：

我们可以得到，他不就是一个二维数组吗？那么我们可以找规律了，那么这就是我们杨辉三角的递推公式了

杨辉三角的递推公式

我们可以通过下面的公式递推出除了第0行和第一行以及三角形一条直角边与一条斜边的所有元素

编程实现杨辉三角

根据杨辉三角的规律可轻松得到下面的代码

#include <stdio.h>

#define n 5

// 函数声明
void generatePascalsTriangle(int triangle[n][n]);

// 主函数
int main() {

    // 创建一个二维数组来存储杨辉三角
    int triangle[n][n];

    // 生成杨辉三角
    generatePascalsTriangle(triangle);

    return 0;
}

// 生成杨辉三角的函数
void generatePascalsTriangle( int triangle[n][n]) {
    int i, j;

    // 初始化杨辉三角
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j <= i; j++) {
            // 每行的第一个和最后一个元素都是 1
            if (j == 0 || j == i) {
                triangle[i][j] = 1;
            }
            else {
                // 其他元素是上方两个元素之和
                triangle[i][j] = triangle[i - 1][j - 1] + triangle[i - 1][j];
            }
        }
    }
}

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总结

杨辉三角是一个数字排列的三角形数组，每个数字表示特定的组合数。它的构建依赖于递推公式：每个数字是其上方两个数字之和。具体地说，第 (n) 行第 (k) 个元素的值是由上方第 (n-1) 行第 (k-1) 和第 (k) 个元素的和决定的。杨辉三角的边界元素都是 1，而内部的元素则遵循递推规则生成。

杨辉三角不仅为我们提供了一个直观的方式来计算组合数，还在数学证明和算法设计中扮演了重要角色。掌握杨辉三角的构建和性质，可以帮助我们在解决实际问题时更高效地使用这些数学工具。