《数字信号处理》学习05-单位冲击响应与系统响应

news2024/9/20 10:57:18

一，单位冲激响应

二，LTI系统对任意序列的系统响应

三，LTI系统的性质

通过上一篇文章《数字信号处理》学习04-离散时间系统中的线性时不变系统-CSDN博客的学习，我已经知道了离散时间线性时不变系统（LTI）的相关概念以及能够判断一个离散时间系统是否是离散时间线性时不变系统。

一，单位冲激响应

在《信号与系统》中，离散时间线性时不变系统用 $h(n)$ 唯一表征：

   $h(n)$ ：单位冲击响应（或称为单位抽样响应）。输入序列是单位冲击序列 $\delta (n)$ ，输出序列 $y(n)$ 是初始状态为0时系统的输出。
1，h虽然不是特定单词的缩写，但在信号处理领域的使用已经成为一种约定，代表了系统的单位冲击响应，因此，一般用   $h(n)$ 来代表离散时间LTI系统的单位冲击响应。
2，之所以强调输出序列 $y(n)$ 是在初始状态为0时的系统输出，是因为在“初始状态为0”时输出序列 $y(n)$ 完全基于输入序列 $x(n)$ 和单位冲激序列   $h(n)$ ，没有任何历史状态的影响（系统没有储存任何历史信息或能量）。
3， $h(n)=T\left [ \delta (n) \right ]$ ，代表了LTI系统的时域特性。
表征：通常指用某种方式来描述、体现或反映某个事物的特征或性质。它强调的是事物内部的特征和本质。在科学和数学中，表征往往涉及对某个对象或现象的特征进行刻画或描述。

如果线性时不变系统(LTI系统）的单位冲激响应 $h(n)$ 的长度有限（序列的长度：序列中连续不为零的非零值所在区间的长度），则该LTI系统是有限长单位冲激响应（FIR，Finite Impulse Response)系统。

反之，为无限长单位冲激响应（IIR，Infinite Impulse Response）系统。

二，LTI系统对任意序列的系统响应

之前已经学习过：如果一个输入序列 $x(n)$ 作用于一个系统 $T\left [ \cdot \right ]$ ，该系统对输入序列的响应（输出序列）为 $y(n)$ ，那么就可以用一个等式来描述： $y(n)=T\left [ x(n) \right ]$ 。

由于任何一个序列都可写成冲击序列 $\delta (n)$ 的移位加权，因此 $y(n)=T\left [ x(n) \right ]$ 可以写成下面的形式：

$y(n)=T\left [ \sum_{m=-\infty }^{+\infty }x(n)\delta(n-m) \right ]$

观察上式，发现可以形成一个项： $T\left [ \delta (n-m) \right ]$ ，又因为“ $h(n)=T\left [ \delta (n) \right ]$ ，代表了 $LTI$ 系统的时域特性。”，所以是不是可以直接令 $h(n-m)=T\left [ \delta (n-m) \right ]$ ？答案是：不行。

因为要想 $h(n-m)=T\left [ \delta (n-m) \right ]$ 成立，就需要系统 $T\left [ \cdot \right ]$ 是时不变系统才行，并且，如果要凑出 $T\left [ \delta (n-m) \right ]$ ，就需要将 $\sum_{m=-\infty }^{+\infty }x(n)$ 提前，变成：

$y(n)= \sum_{m=-\infty }^{+\infty }x(n)T\left [\delta(n-m) \right ]$

而只有线性系统才能够同时满足比例性（或称齐次性）和可加性（通称为叠加原理），因 $y(n)==\sum_{m=-\infty }^{+\infty }x(n)h(n-m)=x(n)\ast h(n)$ 此，系统 $T\left [ \cdot \right ]$ 需要是线性系统才行。所以这里就假设系统 $T\left [ \cdot \right ]$ 是 $LTI$ 系统，那么：