怎么计算复数随机变量的方差和协方差矩阵？

使得其与MATLAB中var函数和cov函数的结果一致。

前言

        复信号在信号处理中随处可见，关于复信号（复随机变量）的方差和协方差矩阵该如何计算呢？本文给出了复信号的方差和协方差矩阵的计算，该计算与MATLAB提供的计算方差的函数var和计算协方差矩阵的函数cov的结果是一致的。

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方差的计算

复数随机变量X方差的计算公式如下：

或

方差的计算 MATLAB验证代码

clc;
clear;
close all;
x = [1, -1+i, 1+1i, 1-1i];
Var1 = var(x)
Var2 = sum(abs(x-mean(x)).^2)/(numel(x)-1) %方法一

Var1 =  var(x,1)
Var2 =  mean(abs(x).^2)-(abs(mean(x)).^2)  %方法二

运行结果：

Var1 =
    1.9167
Var2 =
    1.9167
Var1 =
    1.4375
Var2 =
    1.4375

协方差矩阵的计算MATLAB验证代码

复数随机变量X和Y协方差矩阵的计算如下：

clc;
clear;
close all;

rng default;
X=randn(100,2)+j*randn(100,2); %1列为1个随机变量
[m n]=size(X);
Cov1=cov(X)
Cov2=(X-mean(X))'*(X-mean(X))/(m-1) % 方法一
Cov1-Cov2

% 计算第1列和第2列的协方差          % 方法二
y=X-mean(X);
cov12=sum(conj(y(:,1)).*(y(:,2)))/(m-1)
Cov1(1,2)-cov12

运行结果：

Cov1 =
   2.3841 + 0.0000i   0.1264 + 0.2678i
   0.1264 - 0.2678i   1.8974 + 0.0000i
Cov2 =
   2.3841 + 0.0000i   0.1264 + 0.2678i
   0.1264 - 0.2678i   1.8974 + 0.0000i
ans =
   1.0e-15 *
   0.4441 - 0.0010i  -0.0278 + 0.0555i
  -0.0278 + 0.0000i   0.0000 - 0.0046i
cov12 =
   0.1264 + 0.2678i
ans =
  -5.5511e-17

可见，结果一致，计算无误。