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目录
问题的提出
TOPSIS法
基本概念
模型原理
基本步骤
①原始矩阵正向化
②正向化矩阵标准化
③计算得分并归一化
Python代码实现
问题的提出
生活中我们常常要进行评价，上一篇文章我们讲到了层次分析法，通过确定各指标的权重，来进行打分，但层次分析法决策层不能太多，而且构造判断矩阵相对主观。哪有没有别的方法呢?
研究问题：明星A在当选微博之星后想找个对象，但喜欢他的人太多，不知道怎么选，经过层层考察，留下三个候选人。
从表中可以看出，候选人A颜值最高，但是脾气不好，一个月吵10次架，平均三天一次；候选人B颜值略微低于A，但是脾气要稍微好点；候选人C颜值虽然相比前两位较差，但是脾气是最好最稳定的。
理想情况下：
- 最好的对象应该是颜值9，脾气3
- 最差的对象应该是颜值6，脾气10
思考：那怎么衡量A、B、C和最好、最差的距离呢?
- 把(9，3)，(6，10)作为二维平面的一个点
- 距离最好点最近或者距离最差点最远的的就是综合条件最好的
在上图中红色的点就是最好的对象，蓝色的点就是最差的对象，三个黑点代表三位候选人，可以看出（6,3）距离红色点最近，距离蓝色点最远，可以说是综合条件最好的。
TOPSIS法
基本概念
C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出 TOPSIS (Technique for 0rder Preference bySimilarity to an Ideal Solution)，可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法,。
TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。TOPSIS法引入了两个基本概念:
- 理想解:设想的最优的解(方案)，它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值;
- 负理想解:设想的最劣的解(方案)，它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。
方案排序的规则是把各备选方案与理想解和负理想解做比较，若其中有一个方案最接近理想解，而同时又远离负理想解，则该方案是备选方案中最好的方案。TOPSIS通过最接近理想解且最远离负理想解来确定最优选择。
模型原理
TOPSIS法是一种理想目标相似性的顺序选优技术,在多目标决策分析中是一种非常有效的方法它通过归一化后(去量纲化)的数据规范化矩阵，找出多个目标中最优目标和最劣目标(分别用理归想一解化和反理想解表示),分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离,获得各目标与理想解的贴近度,按理想解贴近度的大小排序,以此作为评价目标优劣的依据。贴近度取值在0~1之间,该值愈接近1,表示相应的评价目标越接近最优水平;反之,该值愈接近0,表示评价目标越接近最劣水平。
基本步骤
1.将原始矩阵正向化：将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标，因为有些指标并不是越大越好，它是越小越好，比如前面我们提到的吵架的次数。
2.正向矩阵标准化：标准化的方法有很多种，其主要目的就是去除量纲的影响,保证不同评价指标在同一数量级，且数据大小排序不变。
3.计算得分并归一化
其中
为得分，
为评价对象与最大值的距离，
为评价对象与最小值的距离。
我们回到给明星A找对象这件事上
明星A考虑了一下觉得光靠颜值和脾气可能考虑的还不够全面，就又加上了身高和体重两个指标，而且他认为身高165是最好，体重在90-100斤是最好。
①原始矩阵正向化
在原始矩阵正向化之前，我们需要先知道都有哪些类型的指标，指标一共有如下四种：
将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。四种指标转化公式如下：
在了解了指标正向化的公式后，我们将原始指标进行正向化：
②正向化矩阵标准化
标准化的目的是消除不同指标量纲的影响。
假设有n个要评价的对象，m个评价指标(已正向化)构成的正向化矩阵如下:
那么，对其标准化的矩阵记为Z，Z中的每一个元素：
标准化后，还需给不同指标加上权重，采用的权重确定方法有层次分析法、熵权法、Delphi法
对数最小二乘法等。在这里认为各个指标的权重相同。将正向化矩阵标准化后如下：
③计算得分并归一化
上一步得到标准化矩阵Z
那么，我们可以计算得出第i(i= 1,2,…,n)个评价对象未归一化的得分：
很明显0≤≤1，且
越大
越小，即越接近最大值。
我们可以将得分归一化并换成百分制：
首先对于前面的标准化矩阵计算得分：
然后再进行归一化并换算为百分制：
最后可以看出候选人B以微弱的优势胜出，所有最终明星A选择了候选人B作为对象。
Python代码实现
实现方法一：手动输入数据
import numpy as np #导入numpy库，用于选行科学计算
# 从用户输入中接收参评效目和指标数目，并将输入的字符事转换为数值
n = int(input("请输入参评数目：")) # 接收参评数目
m = int(input("请输入指标数目：")) # 接收指标数目
# 接收用户输入的类型矩阵，该矩阵指示了每个指标的类型(极大型、极小型等)
kind = input("请输入类型矩阵(1:极大型，2:极小型，3:中间型，4:区间型)：").split(" ") # 将输入的字符串按空格分割，形成列表
# 接收用户输入的矩阵并转换为numpy数组
print("请输入矩阵:")
A = np.zeros(shape=(n,m)) #初 始化一个n行m列的全零矩阵A
for i in range(n):
A[i] = input().split(" ") # 接收每行输入的数据
A[i] = list(map(float, A[i])) # 将接收到的字符串列表转换为浮点数列表
print("输入矩阵为:\n{}".format(A)) # 打印输入的矩阵A
# 极小型指标转化为极大型指标的函数
def minTomax(maxx,x):
x = list(x) # 将输入的指标效据转换为列表
ans = [[(maxx-e)] for e in x] # 计算最大值与每个指标值的差，并将其放入新列表中
return np.array(ans) # 将列表转换为numpy数组并返回
# 中间型指标转化为极大型指标的函数
def midTomax(bestx,x):
x = list(x) # 将输入的指标效据转换为列表
h = [abs(e-bestx)for e in x] # 计算每个指标值与最优值之间的绝对差
M = max(h) # 找到最大的差值
if M == 0:
M = 1 # 防止最大差值为0的情况
ans = [[(1-e/M)]for e in h] # 计算每个差值占最大差值的比例，并从1中减去，得到新指标值
return np.array(ans) # 返回处理后的numpy数组
# 区间型指标转化为极大型指标的函数
def regTomax(lowx,highx,x):
x = list(x) # 将输入的指标效据转换为列表
M = max(lowx-min(x),max(x)-highx) # 计算指标值超出区间的最大距高
if M == 0:
M = 1 # 防止最大距离为0的情况
ans = []
for i in range(len(x)):
if x[i]<lowx:
ans.append([(1-(lowx-x[i])/M)]) # 如果指标值小于下限，则计算其与下限的距离比例
elif x[i]>highx:
ans.append([(1-(x[i]-highx)/M)]) # 如果指标值大于上限，则计算其与上限的距离比例
else:
ans.append([1]) # 如果指标值在区间内，则直接职为1
return np.array(ans) #返回处理后的numpy数组
# 统一指标类型，将所有指标转化为极大型指标
X = np.zeros(shape=(n,1))
for i in range(m):
if kind[i]=="1": # 如果当前指标为极大型，则直接使用原值
v= np.array(A[:,i])
elif kind[i]=="2": # 如果当前指标为极小型，调用minTomax函数转换
maxA = max(A[:,i])
v = minTomax(maxA,A[:,i])
elif kind[i]=="3": # 如果当前指标为中间型，调用midTomax函数转换
bestA = float(eval(input("【类型三】请输入最优值：")))
v = midTomax(bestA,A[:,i])
elif kind[i]=="4": #如果当前指标为区间型，调用regTomax的数转换
lowA = float(eval(input("【类型四】请输入区间[a,b]值a：")))
highA = float(eval(input("【类型四】请输入区间[a,b]值b：")))
v = regTomax(lowA, highA, A[:,i])
if i==0:
X = v.reshape(-1,1) # 如果是第一个指标,直接替换X数组
else:
X= np.hstack([X,v.reshape(-1,1)]) # 如果不是第一个指标，则将新指标列拼接到X敬组上
print("统一指标后矩阵为:\n{}".format(X)) # 打印处理后的矩阵X
# 对统一指标后的矩阵X进行标准化处理
X = X.astype(float)
for j in range(m):
X[:,j] = X[:,j]/np.sqrt(sum(X[:,j]**2)) # 对每一列数据进行归一化处理，即除以该列的欧几里得范效
print("标准化矩阵为:\n{}".format(X)) # 打印标准化后的矩阵X
# 最大值最小值距离的计算
x_max = np.max(X,axis=0) # 计算标准化矩阵每列的最大值
x_min= np.min(X,axis=0) # 计算标准化矩阵每列的最小值
d_z = np.sqrt(np.sum(np.square((X- np.tile(x_max,(n,1)))),axis=1)) # 计算每个参评对象与最优情况的距离d+
d_f = np.sqrt(np.sum(np.square((X- np.tile(x_min,(n,1)))),axis=1)) # 计算每个参评对象与最劣情况的距离d-
print('每个指标的最大值：',x_max)
print('每个指标的最小值：',x_min)
print('d+向量：',d_z)
print('d-向量：',d_f)
# 计算每个参评对象的得分排名
s = d_f/(d_z+d_f) # 根据d+和d-计算得分s，其中s接近于1则表示较优，接近于0则表示较劣
Score = 100*s/sum(s) # 将得分s转换为百分制，便于比较
for i in range(len(Score)):
print(f"第{i+1}个标准化后百分制得分为：{Score[i]}") # 打印每个参评对象的得分运行上面代码后，我们以前面的问题为例进行输入数据(明星A认为身高165是最好，体重在90-100斤是最好)。其中，参评数目就是三个候选人；指标数目就是颜值、吵架次数、身高、体重四个指标；类型矩阵颜值是极大型，吵架次数是极小型，身高是中间型，体重是区间型，所以对应输入为1 2 3 4 用空格隔开；在输入矩阵的时候，每行分别输入三个候选者的四个指标，用空格隔开，输入完一个候选者的指标后按回车键开启下一行；因为身高是类型三中间型，所有我们需要输入165；体重是区间型，依次输入90和100即可。
在输入上面的数据后，运行结果如下：
从结果可以看出，第二个参评对象的得分最高为45.65，也就对应着候选人B。
实现方法二：导入外部文件数据
import numpy as np # 导入numpy包并将其命名为np
# 定义正向化的函数
def positivization(x,type,i):
# x：需要正向化处理的指标对应的原始向量
# type：指标类型（1：极小型，2：中间型，3：区间型）
# i：正在处理的是原始矩阵的哪一列
if type == 1: #极小型
print("第",i,"列是极小型，正向化中...")
posit_x = x.max(0)-x
print("第",i,"列极小型处理完成！")
print("--------------------------分隔--------------------------")
return posit_x
elif type == 2: #中间型
print("第",i,"列是中间型")
best = int(input("请输入最佳值："))
m = (abs(x-best)).max()
posit_x = 1-abs(x-best)/m
print("第",i,"列中间型处理完成！")
print("--------------------------分隔--------------------------")
return posit_x
elif type == 3: #区间型
print("第",i,"列是区间型")
a,b = [int(l) for l in input("按顺序输入最佳区间的左右界，并用逗号隔开：").split(",")]
m = (np.append(a-x.min(),x.max()-b)).max()
x_row = x.shape[0] #获取x的行数
posit_x = np.zeros((x_row,1),dtype=float)
for r in range(x_row):
if x[r] < a:
posit_x[r] = 1-(a-x[r])/m
elif x[r] > b:
posit_x[r] = 1-(x[r]-b)/m
else:
posit_x[r] = 1
print("第",i,"列区间型处理完成！")
print("--------------------------分隔--------------------------")
return posit_x.reshape(x_row)
## 第一步：从外部导入数据
# 推荐使用csv格式文件
x_mat = np.loadtxt('data.csv', encoding='UTF-8-sig', delimiter=',',skiprows=1)
## 第二步：判断是否需要正向化
n, m = x_mat.shape
print("共有", n, "个评价对象", m, "个评价指标")
judge = int(input("指标是否需要正向化处理(需要请输入1，不需要则输入0)："))
if judge == 1:
position = np.array([int(i) for i in input("请输入需要正向化处理的指标所在的列(例如第1、3、4列需要处理，则输入1,3,4)：").split(',')])
position = position-1
typ = np.array([int(j) for j in input("请按照顺序输入这些列的指标类型（1：极小型，2：中间型，3：区间型）格式同上：").split(',')])
for k in range(position.shape[0]):
x_mat[:, position[k]] = positivization(x_mat[:, position[k]], typ[k], position[k])
print("正向化后的矩阵：\n", x_mat)
## 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
tep_x1 = (x_mat * x_mat).sum(axis=0) # 每个元素平方后按列相加
tep_x2 = np.tile(tep_x1, (n, 1)) # 将矩阵tep_x1平铺n行
Z = x_mat / ((tep_x2) ** 0.5) # Z为标准化矩阵
print("标准化后的矩阵为：\n", Z)
## 第四步：计算与最大值和最小值的距离，并算出得分
tep_max = Z.max(0) # 得到Z中每列的最大值
tep_min = Z.min(0) # 每列的最小值
tep_a = Z - np.tile(tep_max, (n, 1)) # 将tep_max向下平铺n行,并与Z中的每个对应元素做差
tep_i = Z - np.tile(tep_min, (n, 1)) # 将tep_max向下平铺n行，并与Z中的每个对应元素做差
D_P = ((tep_a ** 2).sum(axis=1)) ** 0.5 # D+与最大值的距离向量
D_N = ((tep_i ** 2).sum(axis=1)) ** 0.5
S = D_N / (D_P + D_N) # 未归一化的得分
std_S = S / S.sum(axis=0)
sorted_S = np.sort(std_S, axis=0)
print('标准化后的得分：',std_S) # 打印标准化后的得分
## std_S.to_csv(std_S.csv) 结果输出到std_S.csv文件
在运行上面代码之前，需要准备csv格式的数据文件，同时需要注意文件路径，本实验代码与数据文件在同一目录下，本实验csv数据文件如下（还是以前面的问题为例）：
代码运行后，系统会根据数据文件打印有多少个评价对象和评价指标，接着输入0或1表示是否需要正向化处理；然后输入需要正向化处理的列，这里吵架次数、身高、体重需要处理，对应着第2,3,4列，用英文逗号隔开；指标类型的话按照要求输入，1,2,3；输入中间型的最佳值165；输入区间型的左右界，90,100。
最后输入完，运行结果如下：
可以看出结果与方法一得出的一致。
实现方法三：增加权重
前面两个方法中，我们是没有加上权重的，即默认权重都一样。那么假如现在我们在前面的问题中，分别给颜值、炒架次数、身高、体重赋上0.4、0.3、0.2、0.1的权重。那么我们就需要在正向矩阵标准化之后乘以对应的权重，代码如下：
import numpy as np #导入numpy库，用于选行科学计算
# 从用户输入中接收参评效目和指标数目，并将输入的字符事转换为数值
n = int(input("请输入参评数目：")) # 接收参评数目
m = int(input("请输入指标数目：")) # 接收指标数目
# 接收用户输入的类型矩阵，该矩阵指示了每个指标的类型(极大型、极小型等)
kind = input("请输入类型矩阵(1:极大型，2:极小型，3:中间型，4:区间型)：").split(" ") # 将输入的字符串按空格分割，形成列表
# 接收用户输入的矩阵并转换为numpy数组
print("请输入矩阵:")
A = np.zeros(shape=(n,m)) #初 始化一个n行m列的全零矩阵A
for i in range(n):
A[i] = input().split(" ") # 接收每行输入的数据
A[i] = list(map(float, A[i])) # 将接收到的字符串列表转换为浮点数列表
print("输入矩阵为:\n{}".format(A)) # 打印输入的矩阵A
# 极小型指标转化为极大型指标的函数
def minTomax(maxx,x):
x = list(x) # 将输入的指标效据转换为列表
ans = [[(maxx-e)] for e in x] # 计算最大值与每个指标值的差，并将其放入新列表中
return np.array(ans) # 将列表转换为numpy数组并返回
# 中间型指标转化为极大型指标的函数
def midTomax(bestx,x):
x = list(x) # 将输入的指标效据转换为列表
h = [abs(e-bestx)for e in x] # 计算每个指标值与最优值之间的绝对差
M = max(h) # 找到最大的差值
if M == 0:
M = 1 # 防止最大差值为0的情况
ans = [[(1-e/M)]for e in h] # 计算每个差值占最大差值的比例，并从1中减去，得到新指标值
return np.array(ans) # 返回处理后的numpy数组
# 区间型指标转化为极大型指标的函数
def regTomax(lowx,highx,x):
x = list(x) # 将输入的指标效据转换为列表
M = max(lowx-min(x),max(x)-highx) # 计算指标值超出区间的最大距高
if M == 0:
M = 1 # 防止最大距离为0的情况
ans = []
for i in range(len(x)):
if x[i]<lowx:
ans.append([(1-(lowx-x[i])/M)]) # 如果指标值小于下限，则计算其与下限的距离比例
elif x[i]>highx:
ans.append([(1-(x[i]-highx)/M)]) # 如果指标值大于上限，则计算其与上限的距离比例
else:
ans.append([1]) # 如果指标值在区间内，则直接职为1
return np.array(ans) #返回处理后的numpy数组
# 统一指标类型，将所有指标转化为极大型指标
X = np.zeros(shape=(n,1))
for i in range(m):
if kind[i]=="1": # 如果当前指标为极大型，则直接使用原值
v= np.array(A[:,i])
elif kind[i]=="2": # 如果当前指标为极小型，调用minTomax函数转换
maxA = max(A[:,i])
v = minTomax(maxA,A[:,i])
elif kind[i]=="3": # 如果当前指标为中间型，调用midTomax函数转换
bestA = float(eval(input("【类型三】请输入最优值：")))
v = midTomax(bestA,A[:,i])
elif kind[i]=="4": #如果当前指标为区间型，调用regTomax的数转换
lowA = float(eval(input("【类型四】请输入区间[a,b]值a：")))
highA = float(eval(input("【类型四】请输入区间[a,b]值b：")))
v = regTomax(lowA, highA, A[:,i])
if i==0:
X = v.reshape(-1,1) # 如果是第一个指标,直接替换X数组
else:
X= np.hstack([X,v.reshape(-1,1)]) # 如果不是第一个指标，则将新指标列拼接到X敬组上
print("统一指标后矩阵为:\n{}".format(X)) # 打印处理后的矩阵X
# 对统一指标后的矩阵X进行标准化处理
X = X.astype(float)
for j in range(m):
X[:,j] = X[:,j]/np.sqrt(sum(X[:,j]**2)) # 对每一列数据进行归一化处理，即除以该列的欧几里得范效
print("标准化矩阵为:\n{}".format(X)) # 打印标准化后的矩阵X
# 给标准化后的矩阵加上权重
weights = [0.4,0.3,0.2,0.1]
temp_list = []
for i,j in zip(X.T,weights):
temp_list.append(i*j)
import pandas as pd
new_X = pd.DataFrame(data=temp_list).T.to_numpy()
print("加上权重后的标准化矩阵为:\n{}".format(X)) # 打印加上权重后的标准化后的矩阵new_X
# 最大值最小值距离的计算
x_max = np.max(new_X,axis=0) # 计算标准化矩阵每列的最大值
x_min= np.min(new_X,axis=0) # 计算标准化矩阵每列的最小值
d_z = np.sqrt(np.sum(np.square((new_X- np.tile(x_max,(n,1)))),axis=1)) # 计算每个参评对象与最优情况的距离d+
d_f = np.sqrt(np.sum(np.square((new_X- np.tile(x_min,(n,1)))),axis=1)) # 计算每个参评对象与最劣情况的距离d-
print('每个指标的最大值：',x_max)
print('每个指标的最小值：',x_min)
print('d+向量：',d_z)
print('d-向量：',d_f)
# 计算每个参评对象的得分排名
s = d_f/(d_z+d_f) # 根据d+和d-计算得分s，其中s接近于1则表示较优，接近于0则表示较劣
Score = 100*s/sum(s) # 将得分s转换为百分制，便于比较
for i in range(len(Score)):
print(f"第{i+1}个标准化后百分制得分为：{Score[i]}") # 打印每个参评对象的得分代码运行结果如下：
从结果可以看出，如果给指标加上权重，最后的得分明显会不一样，此时候选人C得分最高。
实战案例
某一教育评估机构对5个研究生院进行评估。该机构选取了4个评价指标：人均专著、生师比、科研经费、逾期毕业率。
解释：人均专著和科研经费是效益性指标，逾期毕业率是成本型指标，生师比是区间型指标，最优范围是[5,6]。4个指标权重采用专家打分的结果，分别为0.2,0.3,0.4和0.1。
代码如下：
import numpy as np # 导入numpy包并将其命名为np
# 定义正向化的函数
def positivization(x,type,i):
# x：需要正向化处理的指标对应的原始向量
# type：指标类型（1：极小型，2：中间型，3：区间型）
# i：正在处理的是原始矩阵的哪一列
if type == 1: #极小型
print("第",i,"列是极小型，正向化中...")
posit_x = x.max(0)-x
print("第",i,"列极小型处理完成！")
print("--------------------------分隔--------------------------")
return posit_x
elif type == 2: #中间型
print("第",i,"列是中间型")
best = int(input("请输入最佳值："))
m = (abs(x-best)).max()
posit_x = 1-abs(x-best)/m
print("第",i,"列中间型处理完成！")
print("--------------------------分隔--------------------------")
return posit_x
elif type == 3: #区间型
print("第",i,"列是区间型")
a,b = [int(l) for l in input("按顺序输入最佳区间的左右界，并用逗号隔开：").split(",")]
m = (np.append(a-x.min(),x.max()-b)).max()
x_row = x.shape[0] #获取x的行数
posit_x = np.zeros((x_row,1),dtype=float)
for r in range(x_row):
if x[r] < a:
posit_x[r] = 1-(a-x[r])/m
elif x[r] > b:
posit_x[r] = 1-(x[r]-b)/m
else:
posit_x[r] = 1
print("第",i,"列区间型处理完成！")
print("--------------------------分隔--------------------------")
return posit_x.reshape(x_row)
## 第一步：从外部导入数据
# 推荐使用csv格式文件
x_mat = np.loadtxt('TOPSIS案例.csv', encoding='UTF-8-sig', delimiter=',',skiprows=1,usecols=[1,2,3,4])
## 第二步：判断是否需要正向化
n, m = x_mat.shape
print("共有", n, "个评价对象", m, "个评价指标")
judge = int(input("指标是否需要正向化处理(需要请输入1，不需要则输入0)："))
if judge == 1:
position = np.array([int(i) for i in input("请输入需要正向化处理的指标所在的列(例如第1、3、4列需要处理，则输入1,3,4)：").split(',')])
position = position-1
typ = np.array([int(j) for j in input("请按照顺序输入这些列的指标类型（1：极小型，2：中间型，3：区间型）格式同上：").split(',')])
for k in range(position.shape[0]):
x_mat[:, position[k]] = positivization(x_mat[:, position[k]], typ[k], position[k])
print("正向化后的矩阵：\n", x_mat)
## 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
tep_x1 = (x_mat * x_mat).sum(axis=0) # 每个元素平方后按列相加
tep_x2 = np.tile(tep_x1, (n, 1)) # 将矩阵tep_x1平铺n行
Z = x_mat / ((tep_x2) ** 0.5) # Z为标准化矩阵
print("标准化后的矩阵为：\n", Z)
# 给标准化后的矩阵加上权重
weights = [0.2,0.3,0.4,0.1]
temp_list = []
for i,j in zip(Z.T,weights):
temp_list.append(i*j)
import pandas as pd
new_Z = pd.DataFrame(data=temp_list).T.to_numpy()
print("加上权重后的标准化矩阵为:\n{}".format(new_Z)) # 打印加上权重后的标准化后的矩阵new_X
## 第四步：计算与最大值和最小值的距离，并算出得分
tep_max = new_Z.max(0) # 得到Z中每列的最大值
tep_min = new_Z.min(0) # 每列的最小值
tep_a = new_Z - np.tile(tep_max, (n, 1)) # 将tep_max向下平铺n行,并与Z中的每个对应元素做差
tep_i = new_Z - np.tile(tep_min, (n, 1)) # 将tep_max向下平铺n行，并与Z中的每个对应元素做差
D_P = ((tep_a ** 2).sum(axis=1)) ** 0.5 # D+与最大值的距离向量
D_N = ((tep_i ** 2).sum(axis=1)) ** 0.5
S = D_N / (D_P + D_N) # 未归一化的得分
std_S = S / S.sum(axis=0)
sorted_S = np.sort(std_S, axis=0)
print('标准化后的得分：',[x*100 for x in std_S]) # 打印标准化后的得分
在导入数据文件的时候，我们需要选取指标所在列，故需要再np.loadtxt（）函数中加上参数usecols=[1,2,3,4]，注意在Python中索引是从0开始的，0列对应的就是研究生院。同时我们还需要再代码中添加权重weights = [0.2,0.3,0.4,0.1]。
代码运行结果：
从结果可以看出4号研究生院以得分22.73微弱的优势胜出。
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