B题：生产过程中的决策问题

一、第一问

针对问题一，要求我们制定多种抽样方案，并利用区间估计的方法确定各个抽样方案的检测次数，在两种情形下确定抽样方法。这里可以选择的抽样方案有简单随机抽样（超几何分布中未知参数的精确置信区间_郭海兵），和小样本重复抽样（关于小样本不重复抽样总体频率的一种估计方法）等，以超几何分布为基础,选择合适的随机量作为次品率的估计，给出精确置信区间对估计精确度或者可能犯错误的程度有一个了解。有余力的话还可以考虑其他抽样方法。（不同抽样方法在我国谷物产量估计中的应用_杨钰莹）

超几何分布模型

超几何分布是指从一个有限母体中不放回抽取样本时，成功或失败的概率分布。假设母体中总共N个零配件，其中有M个次品，N-M个正品。抽取样本的数量为n。在抽取的样本中，次品的数量为X，其服从超几何分布。超几何分布的概率密度函数为：

其中，表示组合数。

1.基础抽样方法--简单随机抽样

随机抽样与次品率估计

为了估计次品率p=M/N，通过抽样，我们观测到样本中的次品数量k，样本次品率的估计值为：

为了构建置信区间，我们需要利用标准误差以及正态分布的临界值Z。(对于95%置信水平，Z=1.96；对于90%置信水平，Z=1.645）。因此，置信区间的计算公式为：

代入标准误差的表达式后，得到：

这个公式提供了次品率的置信区间，用于判断次品率是否超过0.1。

具体步骤：

为了更准确地估计次品率超过0.1的置信区间，可以通过调整样本大小n和观测到的次品数量k,并使用超几何分布的概率分布函数来进行精确计算。

1. 设定抽样大小n和观察到的次品数量ko。

2. 计算出样本次品率

3. 根据标准误差公式，计算出标准误差SE。

4.对于95%置信水平，Z=1.96；对于90%置信水平，Z=1.645。

5.若，则拒收这批零配件，否则接受这批零件。

2.减小样本量的抽样方法

以下是几种常见的抽样方法，可以有效减小抽样量：

（1） 顺序抽样（Sequential Sampling）

顺序抽样是一种在抽样过程中动态决定样本量的方法。具体操作为：

先抽取少量样本，进行检测。

根据初步结果，判断是否需要继续抽样。如果已经可以做出明确决策，则停止抽样；如果不能，则继续抽样，直到可以做出决定为止。

这种方法能够在较早阶段做出决策时大幅减少样本量，而在样本数量增加的情况下，也可以逐步提升检测的准确性。特别适合不确定性较高的情况。

（2） 双重抽样（Double Sampling）

双重抽样是一种分两阶段进行的抽样方法：

第一阶段抽取较少量的样本进行初步检测。

如果第一阶段样本的检测结果足够明确（如次品率远低于或高于标准），则可以直接做出接受或拒绝的决定。

如果第一阶段结果不明确，则进行第二阶段抽样，进一步检测更多样本来决定是否接收或拒绝。

这种方法在样品质量较好或较差的情况下，可以避免进行大量抽样，进而减少检测成本。

（3）贝叶斯抽样（Bayesian Sampling）

贝叶斯抽样利用事前知识（如供应商以往的历史质量数据）来优化抽样方案。通过结合历史数据和当前抽样数据，贝叶斯抽样可以动态调整抽样量，从而在同样的决策精度下，减少样本量。这种方法的优点是：

当对供应商的质量水平已有较强的先验认知时，能够降低样本需求。

当数据积累较多时，样本量需求逐渐减少。

（4）接受抽样（Acceptance Sampling）

接受抽样是一种基于统计学的抽样方法，旨在确定某个批次的产品是否可以接受。接受抽样有以下几种具体方法：

固定样本抽样：预先确定样本量，根据检测结果是否符合设定的接受标准，做出接收或拒绝的决策。

调整抽样计划：随着检测批次的增加，调整样本量。例如，当多次检测结果显示供应商的质量稳定时，可以减少样本量。

（5）分层抽样将总体按某种特征（如零配件的批次、来源或类别）分成不同的层，然后从每一层中分别抽样。通过分层抽样，企业可以确保每一层都得到充分的代表性，进而减少需要检测的总体样本量。这种方法的优点在于：

如果不同层次的产品质量差异较大，通过分层可以减少抽样误差，并因此减少样本量。

（6）加权抽样（Weighted Sampling）

加权抽样是一种基于样品的重要性进行抽样的方法。它根据不同零配件的质量风险或历史数据，赋予不同的抽样概率。风险较高的零配件可能需要抽取更多样本，而风险较低的零配件可以抽取较少样本。这样可以在整体上减少抽样量，但仍然确保高风险区域得到充分检测。

3. 顺序抽样方法

从一批配件中逐步抽样，直到有足够的证据确定次品率是否超过0.1，以下是顺序抽样过程中的示例计算：

第一轮抽样：抽取n1个零件，观测到次品数量k1.

二、第二问

生产N件产品的过程中，涉及到零配件采购、检测、装配、成品检测、不合格品调换与拆解等多个环节。我们将通过数学建模来分析每个环节的成本，并通过 MATLAB 程序实现最小生产成本的计算。

注意步骤(3)中关键条件：对拆解后的零配件，重复步骤(1)和步骤(2)的处理方式，我们选择不合格成品经过拆解，可以按照零件购买价格的60%进行回收的方式进行处理。

这里有两个思路：固定生产的成品数，或者固定成功生产的产品数，任选其一即可。

1.定义参数

基本参数：

N:生产的成品数。

2.成本公式

2.1零配件采购和检测成本

1. 零配件1，2的采购和检测：

采购数量：

采购成本：

检测成本：

3.2 成品的装配和检测成本

成品装配成本:

成品检测成本：

3.3调换损失

不检测成品时，次品将讲入市场，造成调换损失：

3.4 拆解成本

不合格成品经过拆解，可以按照零件购买价格的60%进行回收：

其中，成品的合格率：

总成本公式

总成本包括零配件的采购和检测成本、成品装配和检测成本、调换损失和拆解成本：

【Matlab代码】

function total_cost = production_cost(N, a11, a12, a13, a21, a22, a31, a32, a33, c1, c2, c3, c4, detect_part1, detect_part2, detect_final, disassemble)

    % 零配件1检测和采购
    part1_quality_rate = (1 - a11 * (1 - detect_part1)); % 零配件1合格率
    part1_quantity = N / part1_quality_rate; % 零配件1采购数量
    part1_purchase_cost = part1_quantity * a21; % 零配件1采购成本
    part1_testing_cost = detect_part1 * (N / (1 - a11)) * a31; % 零配件1检测成本

    % 零配件2检测和采购
    part2_quality_rate = (1 - a12 * (1 - detect_part2)); % 零配件2合格率
    part2_quantity = N / part2_quality_rate; % 零配件2采购数量
    part2_purchase_cost = part2_quantity * a22; % 零配件2采购成本
    part2_testing_cost = detect_part2 * (N / (1 - a12)) * a32; % 零配件2检测成本

    % 成品装配成本
    assembly_cost = N * c4; % 装配成本

    % 成品检测成本
    final_testing_cost = detect_final * N * a33;

    % 调换损失
    replacement_cost = (1 - detect_final) * N * a13 * c2;

    % 成品合格率
    product_quality_rate = part1_quality_rate * part2_quality_rate * (1 - a13 * (1 - detect_final));

    % 拆解成本和回收收益
    scrap_cost = disassemble * N * (1 - product_quality_rate) * c3;
    scrap_revenue = disassemble * N * (1 - product_quality_rate) * 0.6 * c1;

    % 总成本计算
    total_cost = part1_purchase_cost + part2_purchase_cost + part1_testing_cost + part2_testing_cost + ...
                 assembly_cost + final_testing_cost + replacement_cost + scrap_cost - scrap_revenue;

end