文章目录
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- 3.7-CRB延展到向量的形式
- 3.8-参数变换形式的CRB CRB for transformation， pp45-46
- 3.9-高斯分布 CRLB for the General Gaussian Case
3.7-CRB延展到向量的形式
0904
向量和变换形式的CRLB形式
估计参数真实值 θ \theta θ，估计值 θ ^ \hat \theta θ^
与信号与系统里的信号 s ( t ) s(t) s(t)，
实际采集到的信号 x ( t ) = s ( t ) + w ( t ) x(t)=s(t)+w(t) x(t)=s(t)+w(t)， x ( t ) x(t) x(t)是个随机变量
x ( t ) x(t) x(t)经过采样得到一个序列向量
x ( t ) = [ x ( 0 ) x ( 1 ) x ( N − 1 ) ] x(t)=\begin{bmatrix} x(0) \\ x(1) \\ x(N-1) \\ \end{bmatrix} x(t)= x(0)x(1)x(N−1)
⇒ \Rightarrow ⇒ θ ^ \hat \theta θ^
θ ^ \hat \theta θ^= f ( x ) f(x) f(x)找到一个函数（映射）
估计都有误差，我们的目标是让误差尽可能小，MSE最小化，由方差和偏差组成，最小方差无偏估计，
MVUE: efficient estimator vaild
独立的观测量可加
非负的证明：显然
观测observations是复数形式，所以似然函数 p ( x ; θ ) p(x;\theta) p(x;θ)中的x是向量；
独立的观测，则联合概率密度=各自概率密度的乘积，乘积通过取对数变为累加和；
推广CRLB，标量才有方差的形式，向量的形式有协方差矩阵
C θ ^ = E [ ( θ ^ − E ( θ ^ ) ) ] E [ ( θ ^ − E ( θ ^ ) ) T ] C_{\hat \theta} = E[(\hat \theta-E(\hat \theta))]E[(\hat \theta-E(\hat \theta))^T] Cθ^=E[(θ^−E(θ^))]E[(θ^−E(θ^))T]， C θ ^ ∈ R p × p
